PLANS TAI><GBNTS AUX COURBBS NON PLANES

pendiculaire sur le milieu d'une corde infiniment petite, menée par le point donné de la couri>e.

On aurait pu partir de cette propriété du plan normal, prise comme définition, et en déduire les équations de la tangente, qui lui est perpendiculaire.

629. Tout plan passant par la tangente est dit un plan tangent à la courbe. Les équations (5) représentent deux plans tangents à la courbe. L'équation générale d'un plan tangent sera celle d'un plan passant par l'intersection des plans (5), savoir

- étant une indéterminée quelconque.

On peut encore obtenir directement l'équation d'un plan tangent. L'équation d'un plan quelconque passant par le point {x,yj z) est

de la forme *

/(Ç — x) -+-/w(ïî — ^) -l-/i(Ç — z) = 0.

La distance dupoint(x-f-A, j -f-i, ^-j-Zrjdelacourbeàceplansera

Ih -4- mi -\- nÂ'

dt.

yjl^ -h m* -♦- /i*

et l'on pourra la mettre sous la forme

\Jl^ -t- m* -f- /i*

Elle sera infiniment petite du second ordre si l'on assujettit les constantes l, m^ n k la condition

Ix' -{- my' -r- nz z=r. o, ou (7)

(11) lX-\~niY -hnZ = o,

ou enfin (6)

l/'W f'ir) /'W

On peut écrire, aux infiniment petits près du second ordre, i3) Idjc -h mdjr -^ ndz=^o.

ii8

équation qui exprime que le plan tangent est la limite d^un plan passant par deux points de la courbe infiniment voisins.

Une perpendiculaire à un plan tangent au point de contact est une normale à la courbe. Donc, /, m, n étant trois quantités satisfaisant à la condition (ii), (la)ou (i3)yles équations générales des normales, toutes situées dans le plan normal, seront

630. Considérons une droite mobile d'une manière continue, et prenons deux positions consécutives de cette droite, représentées par les équations

z — c X — a — La