MVBE VI. — CHAP. IV, § X
Si Ton pose
l'intégrale
pourra s'écrire sous la forme
Jo V I 5 \/ I — A' 3
OU, en ajoutant et retranchant, au numérateur, la quantité
•* [/fi,X-'l-/,'3,A-'n./:
Si dans la seconde intégrale on suppose À''^=i, cette intégrale se réduit à
Donc, pour k très-petil et A' très-voisin de l'unité, la seconde
intégrale différera très-peu de -loga et pourra se représenter sous
la forme
t étant infiniment petit avec A\
La première intégrale a pour valeur
et sa limite, pour k' tendant vers l'unité, est celle de
^)fî 3 , ,1
log-^^t -logo. 4-log-.
Donc la somme des deux termes de la valeur de K' peut s'exprimer par la formule
S étant infiniment petit en même temps que Â.
Donc, pour k très-petit, le logarithme de R' différera très-peu
de loglog-' ^^ s'obtiendra en ajoutant à cette dernière quantité
une correction (3, indiquée dans une colonne de la Table I.
Si les logarithmes sont décimaux, comme ceux de la Table, il
faudra ajouter au logarithme décimal de y le logarithme de — •
Soit, par exemple, 6 = o*^, o458 ; on aura
log - = log ( 4 coséc Ô ) — 1 , 7454,
d'où l'on tire
loglog--. 0,2419
log— 0,36-22
logK' =0,6045
1401. La Table II fait connaître, pour les diverses valeurs de l'amplitude et de l'angle du module, les valeurs, tant naturelles que logarithmiques, des intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.
Pour les petites valeurs de l'amplitude et du module, l'interpolation s'effectue plus facilement en faisant usage des valeurs naturelles. C'est le contraire qui a lieu pour les grandes valeurs des deux arguments, surtout lorsqu'il s'agit des intégrales de première espèce. Aussi avons-nous, pour ces dernières, donné à la Table de leurs valeurs logarithmiques une plus grande extension, en calculant cette Table pour chaque centième du quadrant, à partir de la valeur 0*^,90 de chacun des angles 9 et 0.
Notre Table étant à deux arguments, et les intervalles se trouvant trop considérables pour qu'on puisse, dans l'interpolation,
3oO LIVRE VI. — CHAP. IV, § X.
négliger les diflerences secondes, nous allons indiquer en quelques mois comment on doit y avoir égard.
Soit u =y((p, 6) une fonction de deux variables, dont on possède une Table construite pour des intervalles constants des valeurs de chacune des variables. Pour simplifier les calculs, nous prendrons ces deux intervalles pour les unités auxquelles les variables respectives seront rapportées. Dans le cas actuel, l'unité à laquelle seront rapportés les angles (^ et sera le dixième du quadrant.
Proposons-nous de calculer, au moyen de cette Table, la valeur de
^0 et do étant les valeurs tabulaires les plus voisines des valeurs (^
et d, de sorte que h et g soient des nombres moindres que l'unité.
En développant, par le théorème de Taylor, l'expression de i/,
et négligeant les puissances et les produits des accroissements h,
g", d'ordres supérieurs au second, on aurait une expression de la
forme
~Ar a^g -^ a\fig
En donnant tour à tour aux accroissements A, g les valeurs o, i, 2, et désignant par Umn la valeur que prend u pour h=m el g = n^ on pourra déterminer les coefficients «, «', «i, ... au moyen de li^o rt des dlfl'érences du premier et du second ordre de la fonction i/, relatives à cette valeur.
En désignant par Aç, ^^^ les différences première et seconde relatives à la seule variation de ç, par A,« la différence seconde relative à la variation de (f et de 9, et ainsi de suite, on trouvera, pour valeurs des coefficients,
az^ u
a -- A, A„, ûj — Ae Aee,
et, par conséquent,
TABLES DE FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3oi
Pour résoudre le problème inverse de calculer Tun des arguments, connaissant l'autre et la valeur correspondante de la fonction, on se servira de la même équation, dont on pourra obtenir la solution par approximations successives.
Exemples. — I. Calculer F (cp) pour (^ = 0*", 7444 ^''^ = 0*' 76778 . En prenant ^0= 0*^,7, O© = 0*^,6, on formera le Tableau suivant des valeurs tabulaires de F( y) et de leurs différences :
1,2575 i,3ii8 1,3664 1,4939 1,5886
Diff. r« 2364
Diff. 2- Aç.= i78,
Aç 2364
A corrigé .... 2629
A corr. X /i . . 1 167 Af corr. X g ' . i^^
Af corrigé .... 543
Les Tables de Legendre donnent
II. Étant donnés = o*ï, 56*21 et logE((p) = î,8o65, trouver la valeur de cp.
Ici yo = o',4, 0o = o*ï,5, g^ = 0,621.
Valeurs.
Diff. 1'
Diff. 2*
— A^corr. x^
Reste = R
o,28ii
A^ corrigé — 46
L^inconnue h est donnée par l'équation
A = J + illuAl ^ ... 0,2841 -/*(i-//)x 0,1078.
En prenant pour première approximation A = 0,28, d'où
/*(i — ^)= 0,2016, on a, pour seconde valeur approchée,
TABUB I. ~ FonolîoiM du moduto.
lO0i
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^S hS ►7
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