LIVBE VI. — CHAP. IV, § X

En faisant la différence des deux équations, on obtient la relation

(lo) S(i/, fl) — i/ela = B(flr, i/)--«eli£.

La fonction S (m, a) — uela n'est donc pas altérée par l'échange des deux arguments u^ a.

Si Ton fait, dans Téquation (lo), a = K, S(a, R) étant nul, il vient

(il) S(K,a) = Ke\a — aE.

Donc V intégrale complète de troisième espèce s'exprime au moyen des intégrales des deux premières espèces.

1399. Pour compléter ce que nous avons dit au § Vil de ce Chapitre, touchant le calcul numérique des intégrales et des fonctions elliptiques, nous ajouterons ici quelques Tables abrégées, pouvant servir à éclairer la discussion des formules qui dépendent de ces transcendantes, et même à obtenir une première approximation des résultats.

La première de ces Tables donne avec quatre décimales les valeurs des fonctions du module, c'est-à-dire des intégrales complètes de première et de seconde espèce et de la quantité y, pour les valeurs de l'angle 6 du module, de centième en centième du quadrant.

Dans les cas où le module est très-voisin de zéro ou de l'unité, certaines interpolations devenant pénibles ou même impraticables, nous les avons remplacées par l'usage des nombres auxiliaires contenus dans les colonnes a et p, et dont nous allons expliquer la signification.

D'après la formule (7) du u9 1371, le nombre q est déterminé

par une série très-convergente pour les petites valeurs du module A ,

X« série dont le premier terme est -^« Donc la valeur de q est alors très-

peu différente de -7^» et son logarithme pourra s'obtenir en ajou-

tant à log-7T une petite correction que nous désignons par a, et dont les valeurs se prêtent aisément à Tinterpolation.

Exemple. — Pour Q = o*ï, 2J73, calculer logr/ et logy' ( * ). La Table nous donne d'abord, pour cette valeur de 6,

log k r-r log sin 6 1^ ï, 5945,

d'où

log— —.3,9850.

On a ensuite, en dix-millièmes,

a = 339 H- 28 X o, 73 = 359, d'où résulte

log^ = '*^ê>~7: + a = 2,0209.

Maintenant, M étant le module des logarithmes décimaux, on a [1337] la relation

d'où l'on tire

^Ool'^O 77 ~ logM»--— loglo-- -: 1,97340.

et par suite log^'=î,o594.

1400. Pour des valeurs très-petites du module k, le quadrant elliptique complémentaire K' prend des valeurs très-grandes et qui varient rapidement avec Ar. Mais on peut en faciliter beaucoup le calcul au moyen d'une formule d'approximation, donnée par Legendre, et dont nous empruntons la démonstration à une INote de M. Darboux.

('] Il est à peine besoin d'avertir que les logarithmes qui figurent dans tous ces calculs numériques sont des logarithmes décimaux,