VI
DéVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN PRODUITS INFINIS.
1213. Considérons une expression de la forme
(l) (H- «o)(ï -♦- «l).-- (1-4- «/»)=IJ (! + «/«)»
^0, Uiy . . ., an étant des quantités réelles et positives, fonctions de leur indice variable n. Si l'on fait croître indéfiniment le nombre /i 4- I des facteurs, on demande à quelles conditions le produit convergera vers une limite finie et déterminée.
On voit d'abord que la première condition est que le facteur i + a„ tende vers l'unité , et par suite le nombre Un vers zéro, pour 72 infiniment grand.
Ensuite, à cause de
il en résulte que l'on a
Il (i 4- ^rt) <C n<?''«, c'est-à-dire < e-'
Donc, si la série
converge vers une limite finie A pour n infiniment grand, on aura, quelque grand que soit n,
D'ailleurs tous les facteurs i -h a^ étant plus grands que l'unité, le produit croît nécessairement avec n. Donc le produit n(i 4-a«) converge vers une limite finie, toutes les fois qu'il en est de même de la série Za».
De plus, on a évidemment
Donc, si la somme de la série Sa;, ne convergeait pas vers une limite finie, mais croissait indéfiniment, il en serait de même a fortiori du produit II ( i -h ^/i ) .
58 LIVBB VI. — GHAP. II, § VI.
Donc la convergence de la série ^a„ est la condition nécessaire et suffisante de la convergence du produit n(i + a^,). Considérons maintenant le produit
dans lequel lio, Uj, • • . » U/i sont des quantités complexes, comprenant comme cas particulier les quantités négatives, et ayant pour modules les quantités a^y ai , . . . , a„. Le module d^une somme étant moindre que la somme des modules des parties [71 ] et plus grand que leur différence, le module de i-h u„ sera compris entre ceux de H-û/, et de i — «„• Donc [74] mod. Il (i -h ii„) sera compris entre n(i +an) et n(i — an)- Si donc, suivant les conditions de
convergence de la série Eau, ^n tend vers zéro, ainsi que ^^ a„,
71 et N étant deux infiniment grands indépendants l'un de Tautre,
on en conclura, comme précédemment, queTT (i ihai,) tendra
vers l'unité pour tz et N croissant indéfiniment. Donc il en sera de
même du module de TT (i -f- «„), et, par conséquent, on en con-
dura, par un raisonnement analogue à celui que Ton emploie dans la théorie des séries, que le produit TT(i -h ««) tendra vers une
limite finie.
Si l'on remplace u^ par UnZ, z ayant une valeur finie quelconque,
TT(i4-U/i2) satisfera évidemment aux mêmes conditions que
TT(i -h u^), et par suite sera aussi un produit convergent. Donc,
toutes les fois que les coefficients Un rempliront les conditions
ci-dessus, le produit infini TT(i H- Unz) prendra, pour chaque va-
DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS INFINIS. 5g
]eur de z, une valeur finie et déterminée; ce produit représentera donc une fonction finie et uniforme de z.
De plus y cette fonction est continue et monogène. Pour le prouver, il sufïit de faire voir qu^elle a, pour chaque valeur de la variable z, une dérivée finie et déterminée. En effet, si l'on pose
la dérivée de cette fonction sera donnée par l'équation
Le second membre est une série convergente pour n infiniment grand. Donc DjZn converge vers une limite finie et déterminée,
et par suite la fonction Z=TT(i + U/|2) a une dérivée finie et
déterminée par rapport à z, c'est-à-dire qu'elle est monogène. II s'ensuit de là maintenant que àxTi est infiniment petit avec dz, et par suite que la fonction Z est continue.
1214. Voyons maintenant comment nous pourrons obtenir le développement d'une fonction donnée y (z) en produit infini. Appliquons au développement de la fonction
F(.) = D,log/(.) = ^ la formule du paragraphe précédent,
la fonction y'(z) étant supposée uniforme dans toute l'étendue de l'aire 3i.
La fonction dérivée /'(z) a les mêmes infinis que/{z) [1136];
donc ^. . ■ ne peut devenir infinie que pour des valeurs qui rendent
y{z) ou infinie ou nulle.
Co LIVRE VI. — CUAP. Il, § VI.
Soient c un zéro ou un infini de f{z)f m son indice, positif ou négatif [1133]. La fonction
ir
sera finie, continue et difTérente de zéro pour z=:c [1152, 1153]. Donc
sera aussi continue pour z = c. Il en sera de même, par conséquent, de
f l ") m Donc h.— r est éiçal à > plus une fonction finie et continue
pour z = c. Le terme étant infiniment grand du premier
ordre, tandis que l'autre partie est finie, on en conclut que, pour
toute valeur* z = c qui rend la fonction f[z) nulle ou infinie, la
f'{z\ fonction -j--- =Dxlogy(2) est infiniment grande du premier
ordre.
D'après ce que nous avons vu [1206, 1208], le résidu
est égal à la partie de la fonction D^ 'og/^(^) qui devient infinie
pour <s 1= c, c'est-à-dire à » comme il est d'ailleurs aisé de le
vérifier, en calculant directement
Donc
II reste à calculer l'intégrale
DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS INFINIS. 6l
On pourra développer en une série ordonnée suivant les
puissances positives de Zy le module de ^, sur le contour de 3,
pouvant toujours être supposé plus grand que le module de z.
L'intégrale se présentera alors sous la forme d'une série ordonnée
suivant les puissances ascendantes de z, le contour étant choisi de
manière à ne passer par aucun des infinis de T^zXo^f^z).
Si l'on suppose l'aire ^ infinie dans toutes ses dimensions, on
verra, comme au n° 1211, que l'intégrale précédente a la même
valeur que l'intégrale
'^/log/(ç)
et par suite elle se réduit alors à une constante H indépendante de z. Si la fonction Dçlog/'(f ) est impaire, et que l'on choisisse pour
contour de l'aire ^ une courbe symétrique par rapport à l'origine,
alors la constante H sera nulle.
Gela posé, en désignant par H la valeur, constante ou variable,
de l'intégrale
ni J'it
on aura
(■) D,log/(z)=2;-^4-H.
En intégrant les deux membres entre les limites Zq et z, Zq n'étant ni un zéro ni un infini def[z)y il vient
d'où l'on tire ( • )
dt / ^ r \ "*
le produit II s'étendant à tous les infinis contenus dans l'aire ^.
(*) L'intégrale de </log/*(z) dépend, comme nous le verrons plus lard, du chemin suivi par le point t pour passer de z, en z, et les valeurs que l'on obtient pour lo0/(«) peuvent différer d'un multiple quelconque de 2T(i. Il en est de même pour l'intégrale du second membre. Mais ces multiples de a^t no peuvent avoir aucune influence lorsqu'on vient à repasser des logarithmes aux nombres.
62 LITAE VI. — CHAP. Il, | TI.
Si l'înlégrale H est nulle, le facteur er^ se réduira à l'unité.
1213. Supposons maintenant que, dans Finiérieur de Taire 3, chacune des équalions
n^ait que des racines simples, et soient c«, Ci, ... les racines de la première, c'est-à-dire les zéros A& la fonction /"(z), et y,, 70 ... les racines de la seconde, c'est-à-dire les infinis Aef[z), La formule (i) deviendra
d'où
le produit supérieur s'étendant à tous les zéros Ae f[z) compris dans l'aire 3, et le produit inférieur à tous les infinis compris dans la même aire.
Chacun de ces produits sera de la forme de ceux que nous avons considérés dans le n^ 1213, et, s'ils remplissent les conditions de la convergence, ils auront l'un et l'autre pour limites des fonctions svnectiques de z.
Si les zéros c sont distribués symétriquement sur une parallèle à l'axe des x, par exemple, indéfinie dans les deux sens, et que l'on prenne pour contour de >2l une courbe infiniment grande, symétrique par rapport à l'origine et ne passant par aucun des zéros ni des infinis de la fonction y(z), l'indice n des points c„ compris dans l'aire variera entre deux valeurs infiniment grandes, correspondantes à deux points symétriques. Et de même pour les infinis y.
Ainsi, si les zéros sont représentés par les valeurs a -h /i«, a et a étant des constantes, l'indice n devra varier, dans le produit H, depuis — n k -^-n, n tendant vers l'infini, de sorte que le produit
aura pour valeur
lira TT(i4-«n3).
Si les zéros sont de la forme a-f-(2/iH-i)a, n devra varier entre deux valeurs n', /i'^, telles que 2/i''-hi soit égal à — (2/1'+ i), c'est-à-dire que l'on devra prendre «"= — nf — 1, ce qui donnera la valeur
lim n [i^u^z].
Ces remarques sont essentielles dans les cas où la convergence du produit dépend de la forme du contour de l'aire 3 et du mode de groupement des facteurs. Il peut arriver, en eifet, que la quantité H ne s'annule que par suite de la symétrie de la courbe d'intégration y et que le produit II ne soit convergent que si l'on prend pour son élément le produit de deux facteurs d'indices égaux et de signes contraires. Dans ce cas, l'introduction ou la suppression d'un facteur d'un seul côté de Torigine pourrait modifier la valeur du produit.
Si l'on effectue le groupement des facteurs équidistanls de l'origine, en posant, suivant les cas,
ou
I 4- U„=(l 4- w«3) (l -h tf„-i 3),
le produit prendra la forme
lim TT(' + u„),
ou simplement
121G. Exemples. — I. Soit la fonction
/(z)z= COS5;
64 LIVRE VI. — CIIAP. Il, § VI.
on aura
D,log/(»^ =1 — tangs.
Les seuls infinis de cette fonction sont les zéros de cosz, donnés par la formule
et, comme ces zéros sont du premier ordre, on aura
Si Ton prend maintenant pour contour de ^ une ligne infinie, symétrique par rapport ii Torigine, on aura
Donc alors H = o, et, par conséquent,
d'où, en intégrant.
