DÉCOMPOSITION DES FONCTIOMS EN FRACTIONS SIMPLES

1206. Soity(z) une fonction uniforme, présentante l'intérieur (le Taire 2, les infinis C|,C2, . . . . Si le point z est également compris dans l'aire ^, la fonction de la variable ^ aura les mêmes

infinis quey(^), et de plus l'infini ^ = z. Le résidu de celte fonction relatif à l'aire ^ sera donc

un con-

La dernière intéerrale — : / -z^ — ^» étant prise le long: d'

tour qui ne contient pas d'autre infini que z, a pour valeur y(c) Donc

Soit maintenant n l'indice d'un infini c. On aura [1148]

Je ï

ou, en posant (C — <^ )"/(?) = <?(?)'

-d:-.X^(^)'«[rç^-+—[I^i(ç^ + ^]

DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES. 5l

Z ne devenant pas infini pour ^= c. Le produit Zf (^) ne deviendra pas non plus infini au point ^ = c, et, par suite, on aura

Zf(Ç)<^ = 0.

Donc la valeur du résidu -. / '-r se réduit à

j r L rii5}^+ ..+ ' fti^]

C' C CfJ

en posant

résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu au n" 420.

1207. Il reste à calculer la première intégrale — / — i— ^

Supposons que tous les infinis de/'[z), à l'exception de z= co , soient contenus dans Taire 3, et appliquons la transformation par

rayons réciproques, en posant Ç= p- En changeant le signe, comme au n° 1139, l'intégrale prendra la forme

et, l'aire ^'ne contenant pas d'autre infini que le point '^^= o, cette intégrale n'est autre chose que le résidu, pris en signe contraire, de la fonction . ^ r'\ ^\'p) P^"^ ^® point Ç'=o. Or on a

V étant l'indice, pris positivement, de l'infini ^ = oo ou f'= o, et

Si LIYBB VI. — CHAP. Il, g ¥.

K étant une quantité qui ne devient pas infinie pour^'= o. En posant

cette fonction x'^C') ^^"^ finie dans le voisinage de ^' = o, et il en sera de même de KyJ^'). Donc la valeur du résidu intégral cherché se réduira à

: I —^ — ^=Bo-hBjZ -+-...-hB^3%

en posant

Si la fonctiony( z ) est rationnelle, Tordre v de Tinfini 2 = 00 est égal à Texcès du degré du numérateur sur celui du dénominateur.

Si les deux termes sont de même degré, l'expression précédente du résidu intégral se réduit à la constante f{^) ou au rapport des coeHicients des plus hautes puissances de z dans les deux termes de f{z).

Si le numérateur est de degré moindre que le dénominateur,

Ç'= o n'est plus un infini de la fonction p/( j: ) = ^/{^)y ^^9 P^**

suite, le résidu de cette fonction pour Z' =0 est nul. La fonction f{z) se réduit alors à la somme des résidus relatifs aux infinis

1208. Donc, si /[z) est une fonction dont tous les infinis, à Texception de z = 00 , sont contenus dans une aire finie >3, et si 7ii, TZa, . . . , V sont les indices respectifs, pris positivement, des infinis Cl, C2, . . . , 00 ,f{z) pourra se mettre sous la forme

/(z) = Bo-+- Biz -h . . . -I- BvS"

le signe S s'étendant à tous les infinis C|, Cj, . . . , et les coedicients Ba, C^*^ étant déterminés par les formules (3) et (a).

SI rindice v était négatif, ]a partie entière du développement disparaîtrait*

On voit que, si le nombre des infinis 01,02, ... est limité, et que les indices tzi, n^, . . . , v aient tous des valeurs finies, la fonclion J'I^z) sera nécessairement une fonction rationnelle. La formule (4) donne la décomposition de cette fonction rationnelle en fractions simples.

Dans le cas contraire, le développement dey(z) se composera d'une infinité de termes. Pour pouvoir alors faire usage de ce développement, il faudra au préalable s'assurer de sa convergence.

1209. Exemples. — I. Formule d'interpolation de Lagrange, Considérons la fonction

F(z) étant une fonction entière, de degré moindre que le degré n du dénominateur. On est alors dans le cas où la partie entière du développement def[z) est nulle, et l'on trouve simplement

En mettant poury(z) sa valeur, on en tire

'^[zk—^\)"'[zk—H-\)[H'-^k+\]**^[H—^n) ^* ce qui est la formule d'interpolation de Lagrange.

1210. IL Considérons la fonction

/(3)=COl-,

qui a pour infinis toutes les valeurs de z qui sont de la forme

/ITT

54 LIVRE VI. — CHAP. Il, § V.

Choisissons pour contour de Taire une courbe qui entoure tous ces infinis, à l'exception de celui qui répond à n = o, et par suite à ^ = 00 , et qui est le point O'. On aura, par la formule du n*' 1208,

coi- =

L #/W ItTC J

D'ailleurs, cotf' étant infini du premier ordre pour XJ^= o, on a

+ 2Ç'cotÇ'] = «.

Ensuite

cot z rfç

^^-— = lim / cot \

Donc

cot

De ce développement, dont il est facile de constater la convergence (*), on tirerait aisément les développements de cotz,

tangz, . . . , en remplaçant z par —j puis zf par z'\ etc. {voir

nM191,I).

1211. Si la fonction /(z) a un nombre illimité d'infinis correspondants à des valeurs de z indéfiniment croissantes, alors les valeurs de z, représentées sur la sphère [1111], se presseront autour du point O' avec une densité infinie, et Ton ne pourra plus appliquer toujours à l'évaluation de l'intégrale ^ — -. I -^ — le procédé

du n« 1207.

(* ) En effet, il satisfait à la condition connue de conTergence - — — > i .

On peut cependant y parv'enir simplement dans certains cas. Prenons pour contour de 21 une ligne de dimensions infinies, qui ne passe par aucun des infinis dey{î[). On peut alors écrire l'intégrale sous la forme

Pour Ç infini et z fini, le facteur différera infiniment peu de

Tunité, et, par suite, on n'altérera qu'infiniment peu l'intégrale en le supprimant. On pourra donc, dans ce cas, toutes les fois que cette intégrale aura une valeur finie, remplacer la formule (i) par la suivante :

l'intégrale /

^—j- — est une constante indépendante de z.

mais qui peut dépendre de la forme choisie pour la courbe infinie qui limite 2i, La somme de résidus

^'^Jc

f{V,dç

2Tr' ^^ Je 2 — Ç

relative à tous les infinis renfermés dans Vaire ;2l, sera en même temps dépendante de la forme de cette courbe. Alors le développement de la fonction en une somme infinie de fractions simples ne pourra pas se faire sans tenir compte du terme complémentaire représenté par la première intégrale.

Mais si, en donnant au contour de 21 une forme symétrique par rapport à l'origine , il arrive que cette intégrale prenne une valeur constante, indépendante de la nature de la courbe symétrique, nulle par exemple, comme cela a lieu lorsque y(z) est une fonction impaire de z, alors, en associant deux à deux les résidus correspondants à des infinis symétriquement placés, on aura un développement convergent de la fonction y*(z), sous forme d'une suite infinie de fractions simples.

56 LIVRE VI. — CIIAP. il, S V.

1212. Soit, par exemple, la fonction

f[z] rrr COSécS.

Les Infinis de celte fonction, qui sont les zéros de sinz, sont situés tous sur Taxe des x, aux distances zi=/i7r de l'origine. Prenons pour contour de Taire une courbe infinie quelconque, qui ait pour centre l'origine, et qui coupe l'axe des x entre deux infinis consécutifs, de sorte que coséc^ ne soit infini en aucun point du contour.

L'intégrale

Jf* cosérÇ ^ a" '"•

prise le long de cette courbe, aura, en deux points diamétralement opposés, des éléments égaux et de signes contraires, coséc^ étant une fonction impaire de ^. Donc cette intégrale sera nulle, et l'on aura simplement

cosec3= : Iim > i ^ tl^,

la somme devant être prise entre deux valeurs de n égales et de signes contraires, et qui tendent vers l'infini. On a d'ailleurs

I f* cosccÇ cosécJ:

- - / 7/ rf? = lim r — /ITT - - =: Il

< . coséc (me -+- fi ) ■m - —

z:= lim

z — niz — s

z — nn — t siiu z — nit

Donc

cosec3 — ^ — — L«^^

z— nn z '^ z* — /i* K^

En remplaçant z par z, on tire de là

En changeant z en iz dans ces deux formules, on aurait les développements de 777—? -r— •

* * Sn X I :h r.