APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

DÉTERMINATION DU NOMBRE DES RACINES D*UNE ÉQUATION COMPRISES DANS UNE AIRE DONNÉE.

1167. Nous avons vu [1164] que, dans Tétendue d'une aire 3if l'excès M du nombre des zéros d'une fonction uniformey(z) sur le nombre de ses infinis est égal au résidu intégral de la fonction D, \ogf{z) relatif à Taire 3, c'est-à-dire à l'intégrale

Désignons par la caractéristique A l'accroissement d'une fonc-

H. — Cours de Cale» infinît,, IV. I

2 LIVâB VI. — CHAP. Il, I I.

tion non uniforme, représentée par une intégrale, lorsque cette intégrale est prise tout le long du contour de 2i. D'après cela, en représentant par z^ la valeur de la variable z en un point du contour, par Z| la valeur de la variable au même point lorsqu*on a fait croître son argument de 2 7r, de sorte que

et par Fo, F| les valeurs correspondantes de la fonction multiforme F ( z ) , on aura

On trouve ainsi, en particulier,

î^=log^=:Alogy,

et de plus

J^ dz , z, — =: log— =: Al0gZ= lltl.

^Z Zo

Donc la valeur de l'indice intégral relatif à Taire ^ pourra se

mettre sous la forme

A log/

A log 2

Cette expression de la différence entre les nombres de racines

•des équations

/==o, /=oo

a reçu de Cauchy le nom de compteur logarithmique.

1168. Supposons, par exemple, que/soit un polynôme entier du degré n,

Il est clair que l'équation y = oo ne peut avoir de racines finies. Donc la somme M ne contient aucun indice négatif, et, par suite, elle est égale au nombre des racines de réquationy= o. Prenons

NOMBRE DES RACINES d'uNE ÉQUATION DANS UNE AIRE. 3

pour 2i un cercle aussi grand que Ton voudra. Nous aurons

log/=:/ilog3-}- log

X désignant une quantité qui ne devient pas infinie pour z= oo . Donc

A log/— /* A log3 -f- A log ( fl<, 4 j

d'où

A log/

Alog^^o-^- j)

A log2 A log2

Or, pour z assez grand, le module de - devient inférieur à

celui de ao> d'où il résulte que logfa^H — j reprend sa valeur

primitive, lorsque z a parcouru la circonférence entière ( * ). Donc

Alogfa^j-h H — Alog^Q—o,

et, par conséquent,

A logz L*équation y== o a donc n racines. Ainsi nous obtenons encore

(' ) Soient, en effet, mod. - <^ i, - = rc'', r étant < i . On a

A log(ii ->rv)=. \ log« -h A loç ( i-h - j >

Puisque r est < i, i + r cosp sera toujours positif, ainsi que cos f. Donc l'argument f de I H- * ne croit pas d'une circonférence, et par suite log ( i ^ ~ ) reprend sa valeur primitiTe, après que z a parcouru le contour de ^. Donc

Alogn-H-j = o, et Aloç(«n-t') = Alog«.

On peut donc, dans la somme ii-hf, négliger, pour le calcul de Alog(u + (')f la partie v dont le module est moindre que celui de u.

4 LIVRE Yl, — GUAP. II, § I.

une nouvelle démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations.

H69. Ou peut énoncer d'une autre manière le théorème du nM165. Soit

d'où

u =R cosP, «' = R sinP, - = colP.

Lorsque la variable z a fait le tour de l'aire ^y f[z) reprenant sa valeur, ^o^f[z) a crû d'un multiple de 2 7ri, et nous avons vu que cet accroissement Alogz est égal à 2 7ri multiplié par l'excès M du nombre des zéros sur le nombre des infinis.

Il s'ensuit de là que log/(x)= logR -f- iP croît de aMiri, et, par conséquent, l'argument P croît de aM^r.

Considérons maintenant (fig* 91) une droite indéfinie dans les deux sens, mobile autour du centre du cercle sur lequel se mesurent les angles, et tournant dans un sens quelconque. Chaque

Fig. 91.

fois que l'une ou l'autre des directions de la droite passera par le point A, la droite avant décrit un angle P = — hki:, la cotangente

de cet angle P, représentée par la ligne AC, s'annulera. De plus, elle s'annulera en passant d'une valeur positive à une valeur négative si à ce moment l'angle P va en croissant, et, au contraire, elle s'annulera en passant d'une valeur négative à une valeur positive si l'angle P va en décroissant.

Si à la fin du mouvement l'angle P a repris sa valeur primitive, la droite OC aura dû passer par le point A autant de fois en allant