NOMBRE DES RACINES D UNE EQUATION DANS UNE AIRE

de droite à gauche qu'en allant de gauche à droite. Si Tangle P a crû de ir, OC aura dû passer par A une fois de plus en allant de droite à gauche que de gauche à droite. Si l'angle P a crû de aMw, OC aura passé a M fois de plus par A de droite à gauche que de gauche à droite. Donc cotP se sera annulé 2 M fois de plus en passant du positif au négatif qu'en passant du négatif au positif. Donc, lorsque l'argument P dej'{z) croîtra de a Mît, la quantité

- = cotP s'annulera 2 M fois de plus en passant du positif au négatif

qu'en passant du négatif au positif.

Si donc on pose

et qu'en faisant parcourir à z le contour entier d'une aire ^ on compte combien de /bis le l'apport -s' annule en passant du positif

au négatif, et combien de fois il s'annule en passant du négatif au positif, l'excès du premier nombre de fois sur le second sera le double de l'excès du nombre des racines de l' équation f{z) = o comprises dans l'aire 3i sur le nombre des racines de l'équation y(z) = Qo comprises dans la même aire.

Si la fonction y*(^) n'a aucun infini à l'intérieur de 3, l'excès en question sera précisément égal au double du nombre des racines de l'équationy(z)= o contenues dans ^,

H70. Soit, en particulier, une fonction rationnelle et entière

Cette fonction ne deviendra pas infinie pour des valeurs finies de z. Prenons pour contour un cercle de rayon infiniment grand /*. Le premier terme aoz"* deviendra infiniment grand par rapport à la somme de tous les autres, et l'on pourra poser, e étant infiniment petit.

Soit maintenant

On aura, à des quantités près infiniment petites par rapport à celles que l'on conserve,

u = >r"»cos(m/? -\-0), v = 'kr^*^ s\n{mp 4- ô).