PS T
limite n, et K, — -; on aura alors, à cause de m=1,
S1 l’on fait le calcul analogue en remplaçant le module Æ’ par #,
on obtiendra la valeur du quadrant complémentaire K’, et par suite celles de DIN Te RE CIC
1369. Considérons maintenant une intégrale elliptique de première espèce et d’argument quelconque, donnée par son module Æ et par une quelconque de ses fonctions inverses snu, cnu, ..., ou, ce qui revient au même, par son amplitude © :
Aux diverses valeurs de le, obtenues par la transformation précédente correspondent diverses valeurs de dnu ou A. En remplaçant #°, par sa valeur (21), et posant
Ve V7, CDS Cr ny Sin? Pp»
on aura, pour la p"*° valeur transformée,
Si l’on substitue dans la troisième équation (12) du n° 1364,
d dnu +# 4 Ua — ter PE STI RCA si — dnu +1: 4
la valeur précédente, on aura généralement
H — Cours de Calc. infinit., IV. 17
on en re les deux formules
12 HE p-1 p—1 I = DE Eh M hp) Vp—J (l —- Z p—4 Lp bus nc dÉaGr El CE ÉGCRSE 4 Yp PEREL CT AE Ar ] M IE nm, LE 4
au moyen desquelles on formera deux suites de nombres,
Dis Mas +. Mps ous
correspondants aux nombres modulaires mh, np.
lp ' e Lesnombhre mue tendront vers la limite Ÿ D
Va COS" 9 + 1° ? sin? 2 1
Vs el par suite les nombres p», v, vers l'unité; donc — tendra aussi Hp
vers l'unité. Or on a, d’après les formules de en (8)
du n° 1363,
UE
Donc la limite de Up estnu OU:C:
De plus, par la quatrième formule (12) du n° 1364.
LPO, Mn en u,
dn u, va
nu, 1 —
np
, lorsque p est assez grand et k, sensiblement nul, tnw, se confond avec tangu, ou tangx. On a donc, en multipliant entre elles
les égalités
m : PER ET mi EN UE AO MN ANS NES Vi V2 l'équation m M; p=1 MU ESNANGO EL ONNRLAana Er Vi Ve Vp
d'où l’on tire, à cause de m—1 et de V, =",
Lang r = NU Mo. «pi lang ?-
Connaissant x au moyen de cette équation, on en déduira la valeur de
Rio ner
On aurait également pu, en partant des formules
(1 + #'\snx (1+ k')enx
> SNCU = ————— ) 1 LL dnx + dnu
SH
calculer des expressions de sin x, cosx, analogues à celles de tangx. Le calcul numérique de ces expressions est notablement simplifié par l'emploi des logarithmes d’addition et de soustraction.
1370. Les mêmes nombres modulaires qui ont servi à calculer K peuvent aussi conduire à la valeur de g, et par suite aussi à la valeur de K’. Pour le démontrer, posons
1 L L UE EE NN TU PA ET ESS —__ 1+g\i1+d9 a) en produit dont il est facile d'établir la convergence, lorsque gq est moindre que l'unité. En vertu des identités
le produit pourra se mettre successivement sous les formes sui-
vantes :
UE MR MTE ; m6) NT ft pre HAT NON Te ee 9 Lrt9 ñ FC D No 0, | a.
aie ee .) 16 il sr D TT TN ELA mg) (EE ou enfin
260 LIVRE VI — CHAP. IV, $ var.
ce que l’on aurait pu conclure immédiatement de la première transformation, qui peut s'écrire sous la forme
Le (t — q)VT.
On a donc, quel que soit 4,
4 APE Gb JA — q* 8 I— 4 — ———— | VE 2e CPC +9) lt 19 ets)
Or nous avons trouvé [1336 |
T—— EE NEA
% / n & V “ =Ir: ; Se + qi?
et par suite, la transformation de Landen changeant 4 en g?[1365|,
TUE ai VE = TT een?
ee Fra
VA. F' “I 1H qe qi (241)?
Donc le produit
y (Ur em V4 REA RAR Mn:
est égal au produit de toutes les expressions
il À T— 2n+1 1 2(272+1) À (2n2+1) ee 1 (= LT 2n+1) 2 pars .. it ns gr
dans lequel on aura donné à à toutes les valeurs entières, de zéro à l'infini. Donc
ET d FANS (a) Vrsiri... TI (1— gt), Or, d’après ce que nous avons établi au n° 1336, on a
Ra or A TaU D Ve
CALCUL NUMÉRIQUE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. o6f d’où l’on ture, en vertu de la relation MM'N'= r,
24 q{ + 7! der N° RE RET 2n+-1 \6 ATEN MS ESS EN
Donc, en vertu de la formule {1}, on aura
ou, en mettant pour #, k,... leurs expressions au moyen des
nombres modulaires,
1 1 F* 6 4? AS VOA US ce | :
{ Es.) CPE —— ———— —— — *.e e.
1 56k mi \ 3 M
ci ‘ . F L j Connaissant 7, on en tirera les valeurs de
Ï I ï I 19 = -log-—3%:K", K'— __oe
1371. On peut encore déduire des formules de transformation établies au n° 1364 une méthode très-prompte pour calculer dans tous les cas la valeur d’une intégrale de première espèce, donnée par son module et son amplitude. Cette méthode est surtout commode lorsqu'on fait usage des Tables qui donnent les valeurs de
log correspondantes à celles de logx.
Tr
En appliquant à l’intégrale u deux transformations successives, la première changeant (u, k, 4) en (v, £, g?), la seconde changeant (w, Lg?) en (w, À, g), les formules (14) du n° 18364 donneront
CU 24 == CNP SNCP —- SNp CNCP.
dn2:v = car snce + sns cncv.
Si l’on remplace maintenant les fonctions de 6 par leurs valeurs tirées des formules (12) et (13) du même numéro, on trouvera, par
un calcul facile, cn24 I + V4 dnu —.V#
dn24. 5 ÿk dnu + VF
26 LIVRE VI, — CHAP, IV, $ Vii,
ne ; à cn 24 Exprimons maintenant le rapport —
au moyen des fonctions#, dn 214
en remarquant que la transformation de Landen, laissant le rap-
« K port ==; constant, ne change pas la valeur du rapport F
TU Tv ee SL T; 2 K 2 L il viendra cn 2.4 10912000 à
dn2w V? d312%, q°)
À l’aide des relations
mn © OL 2, du 1+ Ve 1 + ÿ# on en Lire (4) I An 4 —4/#" à g{cos2x + qeosbx +...) 2 dnu + V4’ 1 + 2g"cos4x + 2ql6cos8x +...
Si l’on fait maintenant x — 0 dans cette équation, et que l’on pose
dre
2 Te
il vient { 8 21 \ (5) A FAR RTE)
\ Ru + A6 ?
HOT URSS SE
équation d’où l’on peut tirer la valeur de g au moyen de celle de », soit par la méthode des substitutions successives, soit en développant g suivant les puissances de & par la méthode des coefficients indéterminés. Dans ce dernier cas, on aura une série de la forme
q —= açu + au + aju° +...
En effectuant le calcul des coefficients, on trouve
(6) | qg—=u+2u+ibet+ 1bo0t +...
Si l’on développe à son tour # en fonction de k, on obtiendra
cette autre série
x k? À* 4 2,1 4S qu I1=E— + — - 4 10 92
Connaissant 4, on en tirera successivement
DK : ; — =[$,(0)P—{r+ 20) (1+ fat + 3608 +. ..), (8) o— — log; Et 2kK
K'= —0—=plitou)(r+hat+...)=pli+ Ag +...) T
? : 3 FONx Av Pour avoir maintenant uw, représentons la quantité —— ou — k V4!
LR OIANET ec pit d'où SORA AT DT ENT:
me À
L'équation (4) deviendra, en y négligeant les puissances de 4 ou de « supérieures à la huitième,
sx
(9) COS2x = — [1 — oil + jut)sint2x] En résolvant cette équation par approximations successives, lorsque a‘ n’est pas négligeable, on aura la valeur de 2x, et par suite celle de L K
FE ie HE " or:
1372. Tant que les quantités À et 4 ne sont pas très-voisines de l'unité, ces formules seront rapidement convergentes. Ainsi, pour É=arcsin ke <e 7 on aq Ÿ d'où g" << RTE de sorte que la huitième puissance de 4 est sans influence sur la dixième décimale.
Mais si Æ et 4 approchent de l'unité, on prendra, au lieu des formules précédentes, cette autre série de formules, d’autant plus avantageuse que À et 4 seront plus voisins de 1; ces formules se déduiront sans peine des précédentes, en prenant pour $, et #, les
Lt
264 LIVRE VI. — CHAP. IV, S vil,
expressions (14) du n° 1346.
NU A9 I re = — RE Mt «| A Vi + #'iang'o — 5 .
3) / » EPS / e : 1 — E!
1H VA VéA.coso V4 ne A9 — VE.coso ES — = ?
A9 + VÆ.cos ne k'# 214'6 i Natez LOU LAB r Le NET tS Se £ FO RS 10 1024 1 2 K' e —— —[9,{0,g" P=(i+2a P(r1+ Ai + ; I ; , AC p = —logq", GE, Te 2" K' Ch22 — rs [ai —— 4 a \T + Sr 5h al E (p) = x = "01e 24 TT 1373. Exemple. — Proposons-nous de calculer la valeur de l'intégrale ? do
= Ré
v 0 Vi — à sin’ correspondante aux valeurs
We04 0 1),
f' == Sin 01,0 ==si1920);
Nous supposerons que le lecteur ait entre les mains une Table des logarithmes d’addition et de soustraction, disposée, par exemple, comme celle qui est contenue dans les pages 8 à 11 de notre Recueil de formules et de Tables numériques. De plus, on a un immense avantage à employer, dans ces sortes de calculs, les Tables construites suivant la division décimale du quadrant, telles que les Tables de Plauzoles, ou celles de Hobert et Ideler.
H faut commencer par calculer les valeurs des constantes K, g, K', qui dépendent du module 4. Nous emploierons d’abord la transformation de Landen. On a les valeurs logarithmiques suivantLes :
d’où
Hell. MAO 6,00000
CHU Lom Nr 0615000
Lors . ‘. . . . , l 8 8
CS PR EN ES : 0,1100 m ''
