OU CS
Donc, si l’on désigne par
ce que devient la quantité g lorsqu'on change Æ en /, on aura
(18) pe TU
TRANSFORMATION DE LANDEN. 293 1566. Si l’on représente sn u par z, snv par y, l'équation (10) NU Var rratlc
NP VI+Az+ Vi kz
pourra s’écrire sous la {orme
The
( Draps L (19) À Die
Telle est la forme la plus simple de la relation entre les fonctions snu, Sn, qui à fait donner au passage de l’une de ces valeurs à l’autre le nom de transformation du second degré [1365 |.
1307. La transformation que nous venons d'exposer, et dont la découverte est due à Landen, fournit une des méthodes les plus simples pour le calcul numérique des intégrales de première espèce.
S1 l’on applique plusieurs fois de suite cette transformation, on obuendra une série indéfinie de modules complémentaires
dont chacun se déduit du précédent en vertu de la formule
; DU 20 à \ ) P 1 — ES
Le calcul des quantités Æ! acquiert une grande symétrie si l’on I P q O à pose
72 / 7 ! D (21) Ra ASS HONOR, k — —, QAONCK, nt nt;
auquel cas la formule (20) devient
Ur Vip pi < di 1 Mp 1 (mes "= 15)
le rapport des nombres 2, my étant seul déterminé, on pourra supposer ces nombres respectivement égaux aux deux termes de la fraction du second membre, ce qui donne
MAN ET ue D=1 ri Pt pe My ltp. us
My — à 2,
256 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ Vir.
La détermination de ces deux suites de zombres modulaires se fera donc par le calcul de deux suites de moyennes, les unes arithmétiques, les autres géométriques. On aura ainsi successive-
ment PLEINE Mi + 7, HONTE PRET CR QE RE re ap Lo:
2, ; 2 HUE Pas / PNR SAUT DRE ONE
Ces deux suites sont l’une décroissante, l’autre croissante, et chaque nombre de la seconde est toujours moindre que son correspondant de la première, tandis que la différence de ces deux nombres décroît indéfiniment. Les nombres des deux suites tendent ainsi vers une limite commune , comprise entre 1 et }’, et dont ils se rapprochent très-rapidement.
En même temps, les rapports (21) convergent vers l’unité, et, au bout d’un petit nombre d’opérations, on parviendra à une
valeur k, sensiblement = 1.On pourra considérer alors KI=NN ii 2 7 ’ A Te 2 , comme nul, et par suite K, comme égal à = C’est ce qui résulte de
la relation (17) du n° 1365, d’après laquelle on a
rl A | K L PRE
PDP . } , à ; TN : 3 K, ne pouvant jamais devenir moindre que —; KR? doit donc croître indéfiniment, et, par suite, À, doit converger vers l'unité et#, vers ZÉTO.
1368. Cela posé, la relation entre deux quadrants consécutifs
2 mn
: | à =1 fe IR DA 7 D P 1 + Ro Mh amènera la suite d’égalités
Kerr: K;, 77; Rhin; = == LL sr =. ... —— ZE — — K; m; K> DE K} np
qui, étant multipliées entre elles, donnent
K=— KR}.
Mh
CALCUL NUMÉRIQUE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. 397 Si p est assez grand pour qu'on puisse supposer 7», égal à la
