IL

poutres ic. Le terme ——— étant infiniment grand du premier

ordre, tandis que l’autre partie est finie, on en conclut que, pour toute valeur z = c qui rend la fonction f(z) nulle ou infinie, la Et J\z)

fonction —= D,log f(z) est infiniment grande du premier

ordre.

D’après ce que nous avons vu [ 1206, 1208 |, le résidu

I Dr log f (6) dé

est égal à la partie de la fonction D, log f(z) qui devient infinie A ee et 62 * : 7 pour z==c, c'est-à-dire à —-——, comme il est d’ailleurs aisé de le SC vérifier, en calculant directement

Donc

Il reste à calculer l'intégrale

I | <80 2ri Jy E—2 à

DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS INFINIS. Gi

en une série ordonnée suivant les

On pourra développer £

puissances positives de z, le module de Ÿ, sur le contour de 4, pouvant toujours être supposé plus grand que le module de z. L'intégrale se présentera alors sous la forme d’une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de z, le contour étant choisi de manière à ne passer par aucun des infinis de D,logf(z).

S1 l’on suppose l'aire 4 infinie dans toutes ses dimensions, on verra, comme au n° 1211, que l'intégrale précédente a la même

I dlog f (€) 2Ti 24 « ;

et par suite elle se réduit alors à une constante H indépendante de z.

Si la fonction D;log f(£) est impaire, et que l’on choisisse pour contour de l'aire 4 une courbe symétrique par rapport à l’origine, alors la constante H sera nulle.

valeur que l'intégrale

Cela posé, en désignant par H la valeur, constante ou variable,

de l’intégrale ME Le p:|

2Ti C— 3 on aura « m (x) D,logf(s)=S -—— +H

En intégrant les deux membres entre les limites z, et z, z n'étant ni un zéro ni un infini de f(z), il vient

log = = Ÿ log (£ =) +f Hdz,

d’où l’on tire (!) 7IL

(2) no=seel"*T] Éene

le produit II s'étendant à tous les infinis contenus dans l’aire 4.

(*) L'intégrale de dlog f(z) dépend, comme nous le verrons plus tard, du chemin suivi par le point z pour passer de z, en z, et les valeurs que l’on obtient pour log f(z) peuvent différer d’un multiple quelconque de 2x7£. Il en est de même pour l’intégrale du second membre. Maïs ces multiples de 27: ne peuvent avoir aucune influence lorsqu'on vient à repasser des logarithmes aux nombres.

62 LIVRE VI. — CHAP. II, $ Vi.

d H az To

Si l'intégrale H est nulle, le facteur e se réduira à l’unité. 1215. Supposons maintenant que, dans l’intérieur de l’aire 4, chacune des équations

Hibai=0) Halo

n'ait que des racines simples, et soient c5, €,, . .. les racines de la première, c’est-à-dire les zéros de la fonction f(z),ety,, 1, -.. les racines de la seconde, c’est-à-dire les rnfinis de f(z). La formule (1) deviendra

D, log) =) D + d’où Z 6 Zi TA © Hi 4z HAE ha [El (: Frs | PAPE | ) L ; RE ; RÉ Let For D

le produit supérieur s'étendant à tous les zéros de f{z) compris dans l'aire 4, et le produit inférieur à tous les infinis compris dans la même aire.

Chacun de ces produits sera de la forme de ceux que nous avons considérés dans le n° 1213, et, s'ils remplissent les conditions de la convergence, ils auront l’un et l’autre pour limites des fonctions synectiques de z.

Si les zéros c sont distribués symétriquement sur une parallèle à l’axe des x, par exemple, indéfinie dans les deux sens, et que l’on prenne pour contour de 4 une courbe infiniment grande, symétrique par rapport à l’origine et ne passant par aucun des zéros ni des infinis de la foncuüon f(z), l'indice z des points c, compris dans l’aire variera entre deux valeurs infiniment grandes, correspondantes à deux points symétriques. Et de même pour les infinis y.

Ainsi, si les zéros sont représentés par les valeurs a + nx,aeta étant des constantes, l'indice z devra varier, dans le produit I, dépuis —n à +7, n tendant vers l'infini, de sorte que ie produit

aura pour valeur + nr

lim À ji (EBuSe} 1 A

fe?

S1 les zéros sont de la forme a + (27 +1), n devra varier entre deux valeurs n', n”, telles que 27”+7 soit égal à —{2n'+ 1), c’est-à-dire que l’on devra prendre 7%” =—7/— 1, ce qui donnera

la valeur —+- 72

li ; un Il (1+ 0,2)

Ces remarques sont essentielles dans les cas où la conversence du produit dépend de la forme du contour de l'aire 3 et du mode de groupement des facteurs. Il peut arriver, en effet, que la quantité H ne s’annule que par suite de la symétrie de la courbe d'intégration, et que le produit IT ne soit convergent que si l’on prend pour son élément le produit de deux facteurs d'indices égaux et de signes contraires. Dans ce cas, l'introduction ou la suppression d’un facteur d’un seul côté de l'origine pourrait modifier la valeur du produit. |

Si l’on effectue le groupement des facteurs équidistants de l’origine, en posant, suivant les cas,

MP = reve re tu 7)

ou 1H U,=(i1+u,z)(i-+u, 13),

le produit prendra la forme

him (1 + U, ),

ou simplement

[Le + uv).

Ô 1216. Exemples. — I. Soit la fonction

He} =="Cos 3;

64 LIVRE VI. — CHAP. 11, $ vi.

on aura

Les seuls infinis de cette fonction sont les zéros de cosz, donnés par la formule

Der +1)

et, comme ces zéros sont du premier ordre, on aura

i : dlog f{é) Ÿ I

2iT eo 2—6 4 T

Si l'on prend maintenant pour contour de 4 une ligne infinie. symétrique par rapport à l’origine, on aura

Donc alors H — o, et, par conséquent,

{2 z— li RE A 1 ing im > = ( )