S VI
1213. Considérons une expression de la forme
n (1) (+ æ)(1+a)...(1+a) = {(1+e), do di, --., an étant des quantités réelles et positives, fonctions de
leur indice variable 7. Si l’on fait croître indéfiniment le nombre n—+1 des facteurs, on demande à quelles conditions le produit convergera vers une limite finie et déterminée.
On voit d’abord que la première condition est que le facteur 1 + 4, tende vers l'unité, et par suite le nombre &, vers zéro, pour 7x infiniment grand.
Ensuite, à cause de
Tr dy Cr,
il en résulte que l’on a
H(i+a,)<Hetr, c'est-à-dire <Te?»r
Donc, si la série G—+t+...+a,—=2a,
converge vers une limite finie À pour 7 infiniment grand, on aura, quelque grand que soit 7,
HÉIE 4, | en,
ailleurs tous les facteurs 1 + a, étant plus grands que l’unité D’aill tous les fact + a, étant plus grands que l’unité, le produit croît nécessairement avec 7. Donc le produit I(1 + ai) rue 2 1 converge vers une limite finie, toutes les fois qu'il en est de même de la série Z a.
De plus, on a évidemment
Ultra, #2,
Donc, si la somme de la série Za, ne convergeait pas vers une limite finie, mais croissait indéfiniment, il en serait de même a fortiori du produit IH{r+ a,).
(ei:
Donc la convergence de la série Za, est la condition nécessaire et suffisante de la convergence du produit IT{r + a;).
Considérons maintenant le produit
dans lequel wo, u;, ..., u, sont des quantités complexes, comprenant comme Cas particulier les quantités négatives, et ayant pour modules les quantités &o, &, ..., an. Le module d’une somme étant moindre que la somme des modules des parties [71] et plus grand que leur différence, le module de 1 + u, sera compris entre ceux de 1+ a, et de 1— ar. Donc [74] mod.Ïl(1 + u,) sera compris entre ÎT{1+a,) et I(1—a,). Si donc, suivant les conditions de N convergence de la série Za,, a, tend vers zéro, ainsi que > FES n n et N étant deux infiniment grands indépendants l’un de l’autre, N on en conclura, comme précédemment, quel] (1 a») tendra n
vers l’unité pour x et N croissant indéfiniment. Donc il en sera de N
même du module de À À (1+ u»), et, par conséquent, on en con-
IT clura, par un raisonnement analogue à celui que l’on emploie dans la théorie des séries, que le produit À À (1+ un) tendra vers une L L 2 0 hmite finie.
S1 l’on remplace u, par u,z, z ayant une valeur finie quelconque, It l À (1+-uhz) satisfera évidemment aux mêmes conditions que
IT
! l (1+ u,), et par suite sera aussi un produit convergent. Donc,
toutes les fois que les coefficients u, rempliront les conditions
ci-dessus, le produit infini IG + uxz) prendra, pour chaque va-
leur de z, une valeur finie et déterminée; ce produit représentera donc une fonction finie et uniforme de z.
De plus, cette fonction est continue et monogène. Pour le prouver, 1l suffit de faire voir qu’elle a, pour chaque valeur de la variable z, une dérivée finie et déterminée. En effet, si l’on pose
nm
ie Ni! (1+u,z),
la dérivée de cette fonction sera donnée par l'équation
Li EN Un 7 D,2, == S EN PTE ° 2° I + U,2
Le second membre est une série convergente pour 72 infiniment grand. Donc D:7, converge vers une limite finie et déterminée,
Le]
et par suite la fonction Z ={[G+ uUz) a une dérivée finie et
déterminée par rapport à z, c’est-à-dire qu’elle est monogène. Il
s'ensuit de là maintenant que d,Z est infiniment petit avec dz, et
par suite que la fonction Z est continue.
1914. Voyons maintenant comment nous pourrons obtenir le développement d’une fonction donnée f(z) en produit infini.
Appliquons au développement de la fonction F(2) —D;los (2) — J"(z)
la formule du paragraphe précédent,
I ENC dE I F(E£)dé nn D (EE Le feiae
la fonction f(z) étant supposée uniforme dans toute l’étendue de l’aire À.
La fonction dérivée f’(z) a les mêmes infinis que f(z) [1136 |; He)
donc —— ne peut devenir infinie que pour des valeurs qui rendent
f(z) ou infinie ou nulle.
Go LIVRE VI. — CHAP. II, S VI.
Soient c un zéro ou un infini de f(z), m son indice, positif ou
négatif [1133]. La fonction
sera finie, continue et différente de zéro pour z = c [1152, 1153]. Donc
Hi mf (3)
(3 — Ge Hermes
