VII

APPLICATION DE L'INTÉGRATION PAR RAPPORT À UNE VARIABLE COMPLEXE AU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES.

1217. Nous avons vu que, si U dx + V dy est une différentielle exacte dw d’une fonction des variables indépendantes x, y, l'in-

tégrale f. dw, prise le long du contour de l’aire 4, se réduit à zéro |

lorsque U et V sont deux fonctions uniformes et continues dans l’intérieur et sur le contour de cette aire. Si l’une ou l’autre de ces fonctions devient infinie en des points

Ci ai C0) RCE a ani0

situés à l’intérieur de 4, l'intégrale Jl dw est égale à la sommedes pl

intégrales |. dw, [av ..., prises le long de contours infinitési- Ci C2

maux embrassant chacun des infinis €,, Co, ...

Si donc on désigne par À la valeur de l’intécrale |! dw, on aura (e) P le) , #,)

la formule fondamentale A D fav,

le signe de sommation s'étendant à tous les points de discontinuité c des fonctions U, V contenus dans l’aire A.

1218. Pour calculer une intégrale | dw prise le long d’un contour infinitésimal tracé autour du point c, posons x+iy—c=x+iy —{(a+ib)= pe, d’où

Z—a—pCosyp, Y — b—psiny,

et prenons pour contour le cercle de rayon infiniment petit p:

L'expression dw=UÙ dx + Vdy prendra, p étant constant, la forme Fo, o)d?, d’où

Soit, par exemple, l'intégrale

zdy — y dx (1) pes

prise le long du contour d’un carré dont les côtés ont pour équaüons x—=+1,y —+#+1. L'intégrale pourra se décomposer de la manière suivante :

RTS ET MT —! — dx Tsth, : me F mn : di MT un ec NS) NO bag d Pa 8 à i Pr Fr nr

Or les fractions

ont l’une et l’autre un point de discontinuité pour x = 0, y — 0. En calculant, par la transformation précédente, l’intégrale (1) prise autour de ce point, on aura

27T 2 de A=tim f ET or.

ROZ T Mr EL EZ

1219. Si en particulier U dx + V dy est la différentielle d’une

fonction monogène F(z) d’une variable complexe z, on aura alors

Donc

RM M ANS d’où | | DÜ—+:iV— 0.

En faisant done U — f(z), l'expression U dx + Vdy se changera | sk

68 LIVRE VI. — CHAP. II, $ Vi.

éDA7 2) el sera le résidu intégral de la fonction f(z) rela- Tel

de

tif à l'aire 4. On aura donc la formule

af sex fre

Pour faire usage de cette formule, on choisira le contour de l’aire À de manière à pouvoir exprimer l'intégrale |. Vs de À

l’aide d’intégrales définies relatives à des variables réelles, et l’on égalera cette valeur à la valeur de À, calculée au moyen des formules que nous avons données pour évaluer les résidus. En séparant ensuite, dansles deux membres de l'égalité, le réel de l'imaginaire, on obtiendra deux relations entre des intégrales définies et des quantités connues.

On prendra généralement pour contour une ligne telle qu’une seule des variables réelles x et:y, ou r et p varie à la fois, ou bien que les deux variables soient des fonctions données d’une même variable auxiliaire; on rencontrera alors immédiatement des intégrales définies ordinaires. Pour cela, on composera, par exemple, le contour de parties circulaires ayant pour centre l’origine, ou de parties rectilignes parallèles aux axes. Dans le premier cas, le rayon vecteur 7 sera constant; dans le second, une seule des coordonnées x, y variera.

Appliquons cette méthode à quelques exemples.

1220. Si l’on prend pour contour un cercle de rayon 7° et de centre c — a +1b, et que l’on pose

T—a+rcosp, y —=b+rsinp,

la différentielle Udx + Vdy prendra la forme F{r,p)dp; ou simplement F(p)dp, r étant constant, et l'intégrale proposée deviendra | F(p)dp. Donc on aura

1 F(p)dp A,

CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIS. | 69 équation qui se partagera en deux autres si F(p) est une fonction complexe de P:

Soit, par exemple, l'intégrale

(SE az