FE

2 tp;

SRE

et il vient

.27T ip d :

HER Lo flo) pour mod.a<[1,

ba PERL an[s(o) (5) L pour mod.a>>1.

ip 1 — ae'? )

et

En supposant f(z)=— 1 et a réel, il vient, suivant que la valeur numérique de æ est [1 ou >1,

d’où [voir 459, III]

DD

UT 2COosSpId

1 ASE PJ Ipa —27 OÙ O, na Cosp- re,

sin p dp J 1— 24 COSP + a°

1221. Dans certains cas, on connaît a priori la valeur de A. Supposons, par exemple, que l’on sache développer, par un moyen quelconque, la fonction F(z) de la variable complexe z en une série convergente pour tous les points de l’aire À, et ordonnée suivant les puissances entières et positives de z —c. Le coefficient de la rive puissance de z —c aura pour expression [1140]

I F(z)dz

+ 2TL 4 (z — ci

an

Si donc on connaît d'avance la valeur de ce coefficient a,, on aura par là même la valeur de l'intégrale qui le représente.

S1 l’on prend pour 4 un cercle de rayon r et de centre c, compris dans l’intérieur du cercle de convergence de la série, la valeur de l'intégrale sera

2T (1) Î FicPrePe"Pdp—0rr a

Plus généralement, si l’on connaît le développement d’une fonction F(z)en une série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de z — c et convergente dans tout l'intervalle 4 compris entre deux cercles de centre c, on aura la même formule (1)

pour toute valeur entière de 7, positive, nulle ou négative, r étant la distance du centre c à un point quelconque situé entre les deux cercles.

On pourrait aussi employer au même usage l'expression générale des coefficients de la série de Bürmann.

Pour appliquer ces formules au calcul des intégrales définies, il suffira de séparer, dans chaque membre, le réel de l'imaginaire, ce qui fournira deux relations.

Par exemple, du développement connu de la fonction