CR = ’ F
On a, pour z = €,
cle mu, Em efcirE 2mecs +. +).
0 Or) CR ND © fre ltC ire
ou, à cause de 1 +c?"—0, 2 7It ; ECM =.
F,;=— lim / ee et rate C Te 217 21 EE En faisant donc, pour abréger, e ** —7,ona 1 y— 7 Es, | 3 DRM IN ES cer, 0 ER (y +7 ne Cie) LÉ . sr 27 OR y —7} Or, pour m entier, y?*= — 1; donc 1 J I , (om<+i)r DEN DD der on GES 2 in 27
51 l’on fait maintenant R = « , et que l’on suppose m<[n, d’où 2m+1<<2n, l'intégrale prise le long de la demi-circonférence s’évanouira, et il restera, en prenant la moitié de part et d’autre,
(we) 1 DA de T , (2m+i1)r —— = — COSÉC ——— ;
ÉEIr-" 2n 27
comme nous l’avions déjà trouvé | 4901.
74 LIVRE VI. — CHAP. II, $ vri.
1224. Soit encore l’intégrale
En faisant z — Re’, la fonction f(z) devient
etRCoSsp er R sin p 4 Le ia — Re'?
et, pour toutes les valeurs de p comprises entre o et 7, cette quanuté est infiniment petite d'ordre infini lorsqu'on fait R =. Il reste à examiner ce que devient l'intégrale
ü SS(Rei? Re? dp
pour les valeurs de p infiniment voisines de o ou de r, c’est-à-dire à trouver la limite de l'expression eiRCosp eiRcosp
4 —R sinp or Le PETER CAO mi” sh iP d € ; = = ( = ji (= oh C Us a) 1
Si l’on fait abstraction du facteur eK%"?, l'expression sous le
le signe f peut se mettre sous la forme (P + iQ) cospdp,
Pet Q étant des fonctions de p qui ne deviennent pas infinies en même temps que R. Donc l'intégrale proposée peut être mise sous la forme
2€ Î eKsinP cospdp (P + iQ),
expression dont la valeur est égale à la quantité
£ I e-RSinp cospdp PRE 6: 24: CRE Jo R
multipliée par une valeur moyenne de la fonction P + :Q, c’est-àdire par une quantité finie. Donc l'intégrale s’annule pour R infini, et la formule (2) est applicable. |
Pour a positif, la fonction a, au-dessus de l’axe des x, l'infini z — ia, auquel correspond le résidu
Donc, pour a > 0,
S1 l’on change & en — a, la fonction n'aura plus d’infini audessus de l’axe des x, et l’on aura A — o, d’où
Fo xx te — nt), RESTE,
En combinant ces deux formules par addition et soustraction,
on en tire [ 485, IV]
(e a) COS Z Tee sr = dx nn) n Taie AE 2 4
SIN Tr re-4 — PPS .
CEA)
Cette dernière formule donne, en faisant tendre a vers zéro,
CO ° sin æ T dr =:
1225. Si la fonction f(z) a un infini en un point de l’axe des x, à l’origine z — o par exemple, l’axe des x faisant partie du con
Fig. 93.
tour, nous changerons alors la forme de ce contour, afin d'éviter le point O, en décrivant autour de ce point (fig. 93) un demicercle de rayon infiniment petit r, et prenant pour aire l’espace
76 LIVRE VI. — CHAP. 11, $ vil.
compris entre les deux demi-cercles et leur diamètre commun Ox. On aura alors la formule
R T fuia+rt-aérss ff rmer)nerdp — À LE TC TER ThEER"
TT Si la dernière intégrale [ f(reiP)reir dp tend vers zéro en C0)
même temps que 7, on se retrouve alors dans le cas des numéros précédents, et, si l'intégrale prise le long du demi-cercle extérieur s'évanouit pour R — ,on pourra appliquer la formule (2). Si les intégrales prises le long des demi-cercles ne s’évanouissent pas, on joindra leurs valeurs, prises en signe contraire, à la valeur
de À.
Soit, par exemple, la fonction
Nr) =;
T T p il Hiret}re tan — 1k ere dp.
En développant e”*? en série et faisant ensuite 7 = 0, on voit que cette intégrale a pour valeur 7. On en conclut, en raisonnant comme au numéro précédent,
D feix er ix ; — — GÉREST 0 16 L
on a
c’est-à-dire
1226. Prenons pour aire 4 le rectangle parallèle aux axes, dont les côtés ont pour équations
LL, XX, Y—Jpm = Y.
La formule
il (U dx + Vdy) — À A
devient
X Y ( à {l (U., Pied Le x) dx —- JL EVx — VE dy es À, x 17
at
et, si Udx + Vdy est de la forme f(x + iy)(dx +1idy),
x X | LÉ -tiro) fie + iY)]dr
Lo
(4) Ÿ + [LR +60) fr + éd = a
\ “ér S1 l’on suppose maintenant x, —=—,X—+0,YŸ—+, el queue ebN ou ir 51h} sannulent pour © —[©c.quel que soit y, et pour y ——+ quel que soit x, ces fonctions étant, de plus, des infiniment petits d'ordre supérieur au premier, la
formule (3) devient
à [ U? ”. AN,
