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et la formule (4)

== CO fl M rod = N, Si, dans cette dernière, on suppose 7, = 0, on retrouve la formule (2).

Si l’on fait

Supposons, par exemple, HA A LN d, a étant positif, et faisons

Toit es 0 MX O0 NY D}

78 LIVRE VI. — CHAP. II, $ Vi.

Si la fonction F(w) est infiniment petite d'ordre supérieur au P premier pour x == æ , l'équation se réduira à

«| F{aæ)de — (a +ib) | F[(a+ib}x]dr = À.

Si l’on prend F(w)= #17!e"", n étant réel et positif, on a A—o,et F(w) est infiniment petit d'ordre supérieur au premier pour x = + . La formule précédente devient donc [488]

Ce) n % UM EE Rae Il Faire die po — . (a+ 10) 0) (a + cb)"

Donc la formule (7) du n° 488 subsiste pour les valeurs complexes de & dont la partie réelle est positive.

Si l’on fait a + 1b — pe, la formule se décomposera dans les suivantes :

(#2) COS 7 0 {l CET me COUV LAS Me à O

; sin 2 0 il e—4? gn—1 sin bx dx — Tin),

1997; .Soit El) — 1e une fonction rationnelle dont le numé-

rateur est d’un degré inférieur au moins de deux unités au degré du dénominateur. Supposons que l'équation o(z)= o n'ait pas de racines réelles ni de racines multiples, et soient c,, c,,... les racines complexes de cette équation qui ont leur partie imaginaire positive. En appliquant à cette fonction la formule (2), il viendra

[469, IV

le signe 2 s'étendant à tous les infinis c situés au-dessus de l’axe des x, et CG, Ge, ... étant les numérateurs de celles des fractions simples dans lesquelles se décompose la fonction donnée, qui correspondent à ces infinis.

Ainsi, si f(z) est d’un degré inférieur à l’unité, la fonction f(2)

1 F) 0 0 ” - n'aura, au-dessus de l’axe des x, que le seul infini z = +5,

et, par suite, (ee)

JE AIX ZI ROTIT js Peer (e)

En particulier, si f(x) —=(—ix}-!',pouro <u<2,0ona a ©) LT —1 re 0 p—1 [Re ne 0 I — JE , — I1+ x°

d'ou aicauseuden-c,

formule qui revient à celle que nous avons trouvée au n° 490.

1998. Prenons pour contour le périmètre d’un triangle rectangle ABC dont les sommets aient pour coordonnées respectives (x, Yo);

(X, Jo); (X, Y). On aura J'AB) + J(BC) —J(AC)= A.

En faisant, pour plus de simplicité, x, = Yo —0, on aura, en

chaque point de AC, D MT D'OURS Le CL, NX

et l’on a, au lieu de Ja formule du n° 1206,

RE Fin AW, ax — À.

Si l’on fait w — x + 1iy, cette formule devient

free s. a [ rx+ ay) (1+ ia) f lh-+idaqée— à

Soit, par exemple, la fonction

f(z) Les Te",

qui est finie pour toute valeur de x, si l’on prend Be ic Us

Alors À — 0, et l’ona X X | (ee tac Ad SR (i are ia) il e-C+ia)x? Jr =). O0 (0) Si l’on suppose maintenant X ==, comme on a, en faisant

Li LENS X CR!

j sh = ep] rot tot, (e) 0

et que la seconde intégrale a toujours une valeur finie, la première

(ee) est nulle pour X infini. Ilreste donc, à cause de e* dx = À, P , O0

ce) Jia

Ê a 2x = Te

(1 ie ia) nn uni bei ee.

d'où, en séparant le réel de l'imaginaire,

Vr 21 4 lÉ

aVr

(ee) [ e7(1—a*)#: sin ( DAT ) de = ————— :

À Due a)

CO il CNT COS Dave [e)

1229. Soit F(z) une fonction rationnelle. Nous avons vu [1206 et suiv.] que cette fonction peut se décomposer en une fonction entière f(z), plus la somme de tous les résidus de la fonction F(£)

—,» relaufs aux divers infinis c, c, ... de la fonction F4

somme que nous désignerons par

En prenant donc pour 4 une aire renfermant tous les infinis de F(z) autres que z =, et représentant par ®(z)une fonction quelconque uniforme et continue dans toute l'étendue de l'aire 4,

1 f{z)o(z)dz = 0,

E z | dz < Le z)p(z) = Yo f ur D Van

En faisant, par exemple, o(z)= e*, pour u >> o, on aura, la fonction sous le signe f'élant supposée infiniment petite d'ordre

on aura

et par suite [1135]

supérieur au premier pour TX = ©,

fois 6) , pa | J d'rhirdre DD Ce - ds dar etes 53 Un == 1) où l’on afatc=a+ib, F(x) n'ayant aucun infini sur l’axe des +.

1230. Soient w une fonction de z, et o(w) une fonction de w qui,

pour des valeurs RER UE ee APS be

correspondantes à des points z contenus dans l'aire 4, devienne infinie des ordres respectifs

! " We ie à 0 2 ? 4

Soit, de plus, f(z) une fonction de z qui ait, pour les points

D LCN RE Ce CU contenus dans l'aire 4, des valeurs infinies des ordres respeclifs 1e de te 02),

Posons, comme précédemment,

et de même

vise do == pre ri AE (a

la variable w prenant les valeurs correspondantes à celles que prend é le long du contour de l’aire A.

H. — Cours de Calc. infin., WW. 6

Le produit p(w)f(z) ayant pour infinis tous les infinis des fonctions 9 et f, on aura

le à Se Crvlw) Te p (a) f{z) de = frire de ee nn. LS [AE Fe

Si l’on pose maintenant

f{z)dz = F{sw)dw, ou dt biere

la première somme deviendra

bi rm R(A—)f.

D) Tr, F(s)dw (es } da ri T,F (y) (æ— 7 12. Ve 1)

si l’on fait ensuite

Donc on a la formule

TE EN RUE EE Jess Œ 10.401) LL = 1222.78 |

+ 2° A la moitié supérieure du ts Onda

Exemples. — 1. SOIN EI

. En prenant toujours pour

La seconde somme devient donc

ri) = rpiwlc)]

Si l’on fait, de plus,

on à d’abord

w{1}—=0, d'ou rt) —=7r# 0):

Ensuite dz 1 dv HÉeides RS js Ne à LE QÙ (w d'où tre .

) D LV Donc

PONT EN RU Ro ie A

Par conséquent, si l’on se trouve dans les conditions du n° 1222,

+ : = TEE: dr (l OO Ie

I— (XL) 1 + &° y"

on aura

# Fr Z LE = LES — 4 \ z) == ne L) EURE log nt d’où I TC F{æ)=— — ns t 17? e**

on trouvera

[ii Ti # Ti rdx = o | I08T — - & [log x ne MS L F Et) MMS 2 r + x°