NOMBRE DES RACINES D'UNE ÉQUATION DANS UNE AIRE

de droite à gauche qu’en allant de gauche à droite. Si l’angle P à crû de æ, OC aura dû passer par À une fois de plus en allant de droite à gauche que de gauche à droite. Si l’angle P a crû de 2M7, OC aura passé 2M fois de plus par A de droite à gauche que de gauche à droite. Donc cotP se sera annulé 2M fois de plus en passant du positif au négatif qu’en passant du négatif au positif.

Done, lorsque l’argument P de f(z) croîtra de 2M7, la quantité

7 ; Es es - — cotP s’annulera 2M fois de plus en passant du positif au négatif

re qu’en passant du négatif au positif.

Si donc on pose fz)= u + iv,

el qu'en faisant parcourir à z le contour entier d'une aire À on , ; u 26 compte combien de fois le rapport — s’annule en passant du positif (2

au négatif, et combien de fois il s'annule en passant du négatif au positif, l'excès du premier nombre de fois sur Le second sera le double de l'excès du nombre des racines de l'équation f(x) = 0 comprises dans l’aire A sur le nombre des racines de l'équation f(z)= & comprises dans la méme aire.

Si la fonction f(z) n’a aucun infini à l’intérieur de 4, l'excès en question sera précisément égal au double du nombre des racines de l'équation f (z)=— o contenues dans 4.

1170. Soit, en particulier, une fonction rationnelle et entière ME a alictiais ee" ia.

Cette fonction ne deviendra pas infinie pour des valeurs finies de z. Prenons pour contour un cercle de rayon infiniment grand r. Le premier terme a,z”* deviendra infiniment grand par rapport à la somme de tous les autres, et l’on pourra poser, € étant infiniment petit, fie Ur rer (1 + DE Soit maintenant qi ke x

On aura, à des quantités près infiniment petites par rapport à celles que l’on conserve,

u —=)r" cos(mp +0), v— dr" sin{mp + 0),

d’où, à un infiniment petit près,

U = cot|mp + 0).

Si maintenant z fait le tour du cercle, p croîtra de 2%, et mp + 0 de 2mn7. Donc cot(mp + 0) s’annulera 2m fois en passant du positif au négatif, sans jamais s’annuler en passant du négatif au positif. Donc l'équation f{(z) = o a m racines dans l’intérieur du cercle infini.

4171. Pour déterminer la différence v — v’ entre le nombre de hs [74

fois y que -> en s’annulant, passe du + au — et le nombre de o

fois y’ qu'il passe du — au + tandis que z parcourt le contour de 4, Sturm a fait connaître le procédé suivant, qui est une extension de celui qu’il avait donné pour le cas des racines réelles. Prenons pour contour de 4 une ligne qui se compose de parties C,C,..., sur chacune desquelles x et y soient exprimés en fonctions ralionnelles d’une troisième variable £. Pour chaque partie, u et seront exprimés également en fonctions rationnelles de #, de LE

sorte que le rapport ro

se changera dans le rapport . de deux foncuons entières de £. Le problème se ramènera alors à trouver la différence y — y pour chacune des parties GC du contour. La somme de toutes ces valeurs donnera le nombre 2 M.

Divisons maintenant U par V, puis V par le reste — V, de la première division, puis V, par le reste — V,'de la seconde division, et ainsi de suite (1). On finira par arriver à un reste constant — V,; car U et V, ne s’annulant pas à la fois sur le contour, n’ont pas de facteur commun. Soient maintenant, dans le sens des mouvements positifs, a et b les extrémités initiale et finale de la portion de contour C. Alors » — y sera égal à l’excès du nombre des variations que la suite