APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

S dE DÉTERMINATION DU NOMBRE DES RACINES D'UNE ÉQUATION COMPRISES DANS UNÉ AIRE DONNÉE.

1167. Nous avons vu [1164] que, dans l’étendue d’une aire 4, l'excès M du nombre des zéros d’une fonction uniforme f (z) sur le nombre de ses infinis est égal au résidu intégral de la fonction D, log f(z) relatif à l'aire À, c’est-à-dire à l'intégrale

Le | d log f (3).

Désignons par la caractéristique À l'accroissement d’une fonc- H. — Cours de Calc. infinit., IV. I

2 OLYRE VI GHAP 1 SU tion non uniforme, représentée par une intégrale, lorsque cette intégrale est prise tout le long du contour de 4. D’après cela, en représentant par z0 la valeur de la variable z en un point du contour, par 3, la valeur de la variable au même point lorsqu'on a fait croître son argument de 2r, de sorte que

QE retP, Zi, — re CEE

et par F5, F, les valeurs correspondantes de la fonction multiforme F{z), on aura

J HRERAR ER EM >|

On trouve ainsi, en particulier,

a fs) Ja (2) 0 et de plus dz Z; l [. — — log — — Alogz— 2x.

el Z Z

Donc la valeur de l'indice intégral relatif à l’aire À pourra se

mettre sous la forme A log M ESS cs A log z

Cette expression de la différence entre les nombres de racines des équations

HEea0; ice

a reçu de Cauchy le nom de compteur logarithmique.

1168. Supposons, par exemple, que f soit un polynôme entier du degré n,

yum Let nn Aile En

= 4,3 + A2 Fine ee à HUB IN 0 Il est clair que l'équation f = © ne peut avoir de racines finies. Donc la somme M ne contient aucun indice négatif, et, par suite, elle est égale au nombre des racines de l'équation f = 0. Prenons

NOMBRE DES RACINES D'UNE ÉQUATION DANS UNE AIRE. we)

pour 4 un cercle aussi grand que l’on voudra. Nous aurons

2% log f — 2x logz -- log C + ‘| ,

2 désignant une quantité qui ne devient pas infinie DOUTE Éol. Donc FA A log f = nA log z + A log (a :) :

d’où ; L A lo jee E A log f 8 \ +2) er à à) É e A logz ns A logz

2 0 > re a Or, pour z assez grand, le module de - devient inférieur à Z

: LE £ 7 celui de &, d’où 1l résulte que log (a+ :) reprend sa valeur Z primitive, lorsque z a parcouru la circonférence entière (!). Donc

de)

z A log Le + :) = ui;

et, par conséquent,

A log f — 2 j},

A logz

L'équation 1 o a donc 72 racines. Ainsi nous obtenons encore

(*) Soient, en effet, mod. . ar ne leP, métAnE< 1. 06 a

Alog(u+e)= Alogu + s tog (1+ 2) Lu

1+ 7 COSP = p COS pe Puisque r est 1, 1 +7 cosp sera toujours positif, ainsi que cos. Donc l'argument + de += ne croit pas d’une circonférence, et par suite log (+ 2) reprend sa valeur primitive, après que z a parcouru le contour de À. Donc

La Atog(1+ 2) —0, ét Alors Er} A log,

On peut donc, dans la somme u+v, négliger, pour le calcul de Alog(u+e), la partie » dont le module est moindre que celui de «.

rA LIVRE VI: dr GHA PI OLIS ST, une nouvelle démonstration du théorème fondamental de la théorie

des équations.

1169. On peut énoncer d’une autre manière le théorème du n° 1165. Soit Ha Eee Re d’où

} u LE=R COS Pre RSR P = COtP:

Lorsque la variable z a fait le tour de l'aire 4, f(z) reprenant sa valeur, log f(z) a crû d’un multiple de 27:, et nous avons vu que cet accroissement À log z est égal à 272 multiplié par l’excès M du nombre des zéros sur le nombre des infinis.

Il s'ensuit de là que logf(x)= logR + :P croît de 2M ri, et, par conséquent, l’argument P croît de 2Mr.

Considérons maintenant (fig. 91) une droite indéfinie dans les deux sens, mobile autour du centre du cercle sur lequel se mesurent les angles, et tournant dans un sens quelconque. Chaque

Fig. or.

fois que l’une ou l’autre des directions de la droite passera par le point À, la droite ayant décrit un angle P = - + kr, la cotangente

de cet angle P, représentée par la ligne AC, s’annulera. De plus, elle s’annulera en passant d’une valeur positive à une valeur négative si à ce moment l'angle P va en croissant, et, au contraire, elle s’annulera en passant d’une valeur négative à une valeur posiuve si l'angle P va en décroissant.

S1 à la fin du mouvement l’angle P à repris sa valeur primitive, la droite OC aura dû passer par le point À autant de fois en allant