JE==NOD

En écrivant maintenant que l'intégrale prise le long du contour

total est nulle, on aura, pour p infiniment petit et r infiniment grand,

, ere dz | 2 d'z s 0 dv T panel A tt RE Te O V1 = je 1 + P Vi — 72 r VI + y? 9:

132 DTNIRIE IT NC PA DSTI RS RTE

En égalant séparément à zéro la partie réelle, on a

Ï dz T / 0 Vi— 7 2

La seconde intégrale étant de la forme + 14?, la dernière doit être

de Î:

2 MAR ee

et, comme [ a eo TUE MU AUS ES

le radical /1 + 7? soit pris avec le signe +, ce qui résulterait d’ailleurs de ce qu’il doit revenir en O avec sa détermination

initiale.

Ainsi aux valeurs réelles de z depuis ZÉTO jusqu'à —- 1 Corres-

, Q , . < TT pondent des valeurs réelles de « depuis zéro jusqu’à es Lorsque Z 5 : TT . \ varie de +1 à + oo, u prend des valeurs complexes de - +10 à T , : RE À F x a 100. Pour z purement imaginaire, de zéro à + 180 » U passera par toutes les valeurs purement imaginaires, de zéro à +1. Si l’on change z en — z, l'intégrale u ne fera que changer de signe. Donc, si l’on fait parcourir à z des chemins symétriques des

précédents par rapport à l’origine, w prendra des valeurs égales, au signe près, aux valeurs précédentes. Ainsi, z variant de zéro

à —1, uw variera de zéro à —T; z variant de — 1 à — © , après

A DCE À : T avoir évité le point — ren passant au-dessous, u variera de — -

— — © ; z variant de zéro à — 1 æ , u variera de zéro à — 100.

1277. Supposons actuellement que z parcoure un chemin reculigne z =ret?. Pour avoir l’inclinaison de la tangente à la courbe x au point correspondant à z, remarquons que l’argument du radi-

cal Vr— 7? est la demi-somme des nent des facteurs 1 + z, 1— z de la quantité sous le radical, c’est-à-dire l’inclinaison de la bissectrice de l’angle POP { fig. 100), OP et OP’ représentant les facteurs en question. Cet argument sera nul pour r — 0; il deviendra ensuite négatif si p est aigu, positif si p est obtus. Pour r infini, la bissectrice de P’O P se confondra avec une perpendicu-

s : ; ARE: T laire à la droite Oz, et aura ainsi pour argument p — -:« Donc

la différence entre p et l’argument du radical, c’est-à-dire l’argu-

Îz : £ : " T T ment de ——;, variera depuis p jusqu'à p—[p— -)=-; donc

la tangente à la courbe x coïncidera d’abord avec le chemin recti-

Fig. 100.

ligne Oz, puis elle s’écartera de Oz, et, à l'infini, elle deviendra parallèle à O y.

On voit ensuite, comme au n° 1273, que, si l’on fait croître l'angle p infiniment peu, la distance des deux courbes w correspondantes aux angles p et p + dp sera infiniment petite, mais différente de zéro pour z fini, de sorte que les courbes u ne se rencontrent pas et se succèdent d’une manière continue.

Donc, si l’on considère tous les chemins rectulignes compris

) O entre les directions O x et Oy, on voit que les diverses courbes u correspondantes varieront par degrés continus, et toujours dans le même sens, depuis la courbe u correspondante à Ox (}), la-

p: La \ Tr quelle se compose d’un segment de l’axe réel égal à —; et de toute 2}

la perpendiculaire à l'extrémité de ce segment, jusqu’à la courbe w correspondante à O7, laquelle est l’axe imaginaire lui-même. Donc toutes les courbes u remplissent complètement et une seule

. : T k : ; fois la bande verticale de largeur — comprise à droite de Oy dans

le premier quadrant.

La symétrie nous montre que la même chose se passe dans le

(*) En supposant qu’on ait évité le point +1 par un demi-cercle supérieur.

Lo LIVRE VI. — CHAP. III, $ IV.

troisième quadrant, si l’on a évité le point — 1 au moyen d’un demi-cercle inférieur, de sorte que les courbes x correspondantes aux chemins rectilignes compris dans ce quadrant remplissent

À : TES NE entièrement et une seule fois la bande de largeur — située dans ce c}

même quadrant.

x Te : L En faisant croitre p de — à x, on verrait de même que les courbes 2)

correspondantes aux chemins rectilignes compris dans le deuxième et le quatrième quadrant remplissent, sans superposition, les por-

. . : T gt:

ons de la bande verticale comprise entre x—=— — et x = + à

qui se trouvent dans ces quadrants respectifs. Donc z est une fonction synectique de u dans toute l’étendue de la bande verticale en question.

1279. Si l’on avait commencé par décrire l’un ou l’autre des contours élémentaires (+1), (— 1), on aurait obtenu, en parcourant les divers chemins rectilignes, les valeurs précédentes de w changées de signe et augmentées toutes de Æ 7. Dès lors, les valeurs réelles de l’intégrale s'étendront de — r à +T(!). Donc, dans la bande verticale de largeur 27, dont l’origine occupe Île milieu, on aura, pour la même valeur de z, deux valeurs de l’intégrale, de la forme u et ET —u.

En parcourant maintenant l’ensemble des deux contours élémentaires un nombre quelconque de fois, on formera, comme nous l’avons vu, un nombre illimité de systèmes identiques de valeurs de u, correspondants à un même système de valeurs de z, et situés dans les bandes successives de largeur 27, prises de part et d'autre de la première.

(*) En effet, les parties réelles des valeurs de x obtenues dans le numéro précédent

T T ; ; à si varient entre — — et + —- Les parties réelles de + 7 — x varieront donc entre + — 2 2 T TT 3 T .

et + =» celles de — 7 —.« entre —— et — —. On voit donc que la bande de largeur 2 > 2

27, s'étendant symétriquement de part et d'autre de Oy, contiendra toujours l’une des deux valeurs — 7 — u et +7—u, et une seule, puisque tout nombre compris

, Pr Te 37 T entre + + et — x est contenu dans l’un des trois intervalles de + — à + — ;, de — F 2 2

; T DT: T ; à + — et de — — à — -; et y est contenu une seule fois. 2 2 2

1280. De ce que nous avons établi dans le paragraphe précé-

dent il résulte que la variable z, considérée comme une fonction

de l'intégrale u, est uniforme et continue dans toute l'étendue du

plan, et qu’en outre elle est périodique, sa valeur ne changeant pas

lorsqu'on remplace w soit par 227 + u, soit par (22 +1)T—u, de sorte que, si l’on désigne celte fonction par sinu, on aura

sinu — sin(272r +u)—=sin((22+1)r —u].

On a, de plus

sin (— u) ——sinw, d’où l’on conclut la relation sin[(22 +i)r +u]=sin(22r —u)——sinu.

Donc, en général, on a

sin{zr+u)—{(—1)"sinu.

1981. Il est utile d'introduire aussi comme fonction analytique le radical 1 — 3? = ÿi—sin?u, que l’on désigne par la notation cosu. La valeur numérique de ce radical se tire immédiatement de celle de sinu; mais son signe ne peut être fixé d’après la valeur de u qu’au moyen d’une discussion spéciale.

Considérons d’abord les valeurs de w pour lesquelles on à

SDL te 1e À dz

L'intégrale a, 0 VI — 7

Te ’ ayant pour valeur —9 On aura par conséquent 2,