CT FH TE

à +iæ, u Varie de + ——100 A oirns

128 LIVRE VI. — CHAP. II, $ 1v.

Si, au contraire, z parcourt l’axe des y négatifs, en passant à gauche de — 1, l'intégrale prendra des valeurs respectivement égales et de signes contraires aux précédentes.

19275. Discutons maintenant l'intégrale prise suivant le chemin

récuhene see, eiP dr gi 1+ rep?

az AA —— Eu ee

l’angle p étant d’abord supposé aigu.

L'’argument de la différentielle du est égal à l'argument p de dz, moins l’argument du dénominateur 1+ 3? = (z+1)(2—1i)=ON.ON (fig. 99), lequel est égal à la somme des angles ON, x ON’. Cette

Fig. 99.

somme est nulle pour z — 0, et par suite, au départ, la courbe «

est tangente à Oz. Pour z croissant, chacun des deux angles s’ap proche indéfiniment de p, et, pour z = , l'argument de w a pour limite p— 2p = — p. D'ailleurs, en remplaçant le chemin Oz par un chemin rectiligne égal pris sur Ox et par un arc de cercle joignant les deux extrémités, on verrait, comme au numéro précédent, que l'intégrale circulaire est nulle pour r —. Donc,

ï AS NE . quel que soit p <T —; l'intégrale rectiligne aura toujours, pour F0.

T , : ‘ la valeur + -. Donc la courbe u, aux points qui correspondent

àr—o et à r — , est tangente aux deux côtés d’un triangle 150-

A Te a , scèle ayant sa base, de longueur-; située sur O x.

De plus, l’argument du dénominateur 1 + 3? a pour tangente

tang 2 p

r? COS 2 p

et la valeur de cette tangente augmente continuellement avec r. Donc la courbe u est constamment concave vers l’axe des x.

L La

Pour r —1, l'intégrale, dont nous avons donné la valeur géné-

rale au n° 373, a pour valeur

Te F 1 + sinp — + — lo ‘

Mas: AE sinp La partie imaginaire de cette valeur devient infiniment grande J = he T 7 pour p infiniment voisin de —-; d’où l’on conclut que la courbe « 9}

s'approche indéfiniment de ses tangentes et s'éloigne à l’infini de l’axe des x.

On verrait, comme au n° 1273, que les courbes u ne se rencontrent pas et qu'elles varient d’une manière continue en même temps que p. Donc elles passent par tous les états intermédiaires, depuis la base commune des triangles isoscèles, qui correspond à p — 0, jusqu’à une courbe s’élevant à l'infini et se confondant, à distance finie, avec l’axe des y et une parallèle à cet axe menée à la

. Fi .

distance —: Donc les courbes & correspondantes aux Chemins rec-

ulignes compris dans le premier quadrant remplissent complètement et une seule fois la portion de la bande de largeur 7 comprise dans ce quadrant.

On trouverait de la même manière que les courbes w correspondantes aux chemins rectilignes compris dans les trois autres quadrants remplissent aussi complètement et une seule fois les trois autres parties de la bande en question. On le reconnaît immédiatement par la symétrie des valeurs obtenues.

Donc z est une fonction de uw synectique dans toute l’étendue du plan. De plus, cette fonction est périodique, et sa période est égale à m. En désignant cette fonction par tangu, par analogie avec le cas de u réel, on aura, quel que soit l’entier #,

tangu — tang(u + kr).

H "Cours de Calc. tnfthil./ AV. 9

130 LIVRE VI. — CHAP. II1, $ Ev.

En combinant les résultats précédents avec le théorème d’addiuon [827, 11}, on en déduirait aisément toutes les propriétés de la fonction tang z.

1276. III. Nous avons vu [1261] que l'intégrale

É dz He Be re) ÿi— >

a pour période 27 et que dans chaque bande verticale de largeur 27 se trouvent deux valeurs de cette intégrale, correspondantes à la même valeur de z. Étudions la marche de l'intégrale suivant les divers chemins rectilignes de z partant de l’origine, et examinons d’abord les valeurs qu’elle prend lorsque z parcourt les axes coordonnés.

Si z parcourt l’axe des x, en supposant que le radical 1 — 7? parte de l’origine avec la valeur +1 et que z évite le point de ramification + 1 en passant au-dessus, on aura d’abord l’intégrale

qui, pour p infiniment petit, tendra vers une certaine limite réelle, que nous désignerons provisoirement par A.

Posons maintenant z = 1 + per, d’où DÉSERT

Vi—z—Vÿ— per — /pelrr) + he ; ;

pour p=?, le radical doit avoir la valeur positive ÿ/1— bp, ce qui n° à , " , 0 ñ , 2 . :

exige que l’on prenne l'expression précédente avec le signe —.

On devra donc poser

VI—z

D'après cela, l'intégrale le long du demi-cercle supérieur aura pour valeur

INVERSION DE L'ARC-SINUS. DO quantité infiniment petite en même temps que p, et dont la valeur, à une fraction près infiniment petite d’elle-même, sera (1 +i) V2p.

Après avoir parcouru le demi-cercle supérieur, z revenant sur l’axe des x avec la valeur 1 + 0, V1 — z prendra la valeur —iVo,

et par suite le radical V1— z? aura une valeur imaginaire négative,

: : a dz sv de la forme — 1h?. Donc l'élément —— de l'intégrale sera de la lez

forme + 1k?, et par suite la partie de l'intégrale prise de 1+p

à [£ 4 Q ‘79 à +oæ, Co de la forme + 1A?.

RANIT 2

Décrivons maintenant, du centre O et d’un rayon infiniment grand 7, un quart de cercle entre les axes Ox et Oy, et intégrons le long de ce quart de cercle. Si l’on pose z — r'e’?, l'intégrale devient, en remarquant que le radical /1— z? doit être, pour p = 0, de la forme — 1h?, ainsi que le quotient de sa division par retr,

w [3 CRE) w | A

r d.e'P L d Ip dp

Re — |) Vi rer 1° e2tP Eat o Vr er RD o VI no

Ë = Te dont la limiterest —- = DOUTE

La variable z arrivera sur l’axe Oy avec la valeur + ir, et l’intégrale prise le long de l’axe des y,

jpes — “if un

sera une imaginaire pure, de la forme + i}?. Sa valeur numérique,

J dy : < étant plus orande que celle de = — log y, sera infinie pour 5 ñ 59") P