PA

la développe en série suivant les puissances de €, le développement ne pourra contenir que des puissances paires, et sera de la forme

. T 9 L SIN el Te vs CPE ERP

On tire de là :

cos(E+e) = ira eV aa de.

Lo

/ Pour une valeur suffisamment petite du module de &, cos e + )

est donc sensiblement proportionnel à la première puissance de e, et

L nr ; : :

par conséquent le point — n’est pas un point de ramification de

cette fonction, non plus que les autres points 27 + (—1)*- pour

lesquels siInu —= +1.

Il en serait de même des points pour lesquels sinu = — 1, c’est- +: < T à-dire des points 27 — (— 1)? —.

La fonction sinu devient infinie pour u égal aux valeurs de l’in-

© tégrale [ __— et il résulte de ce que nous avons vu que ces O0 I Z valeurs se composent d'une partie réelle arbitraire, jointe à une partie imaginaire infinie. Donc sinu ne devient infini pour aucune valeur finie de «u.

Danc nous avons démontré que la valeur de cosu est uniforme

pour toute valeur de u.

1281. Pour étudier maintenant la périodicité de la fonction cosu, considérons l'équation transcendante

COSU —= COS.

En remplaçant le cosinus par sa valeur + Vi — sin?u, cette équation entraîne une des deux suivantes:

Vi siNnu — + Sinus, Sin — --sinws.

La première de ces équations donne

u—=nr+(—1)tu,.

Si l’on désigne maintenant par C le chemin quelconque que l’on a décrit pour obtenir l’intégrale &,, 1l résulte de ce que nous avons dit au n° 1255 que l’on obtiendra la valeur de w en faisant précéder le chemin C du parcours alternatif des deux contours (+ 1), — 1), en commençant par le premier ou le second suivant que #

est pair ou impair, et faisant un nombre total de tours égal à 7. Or, à chaque parcours d’un contour élémentaire, le radical change de signe. S'il est donc parti avec le signe +71, 1l aura, après les n parcours, le signe de (— r}*. Donc il partira, pour décrire le chemin C, avec la valeur (— 1)”. Il arrivera donc au point correspondant à &#, avec la valeur (— 1}* cosus. Donc

cos[ nr +(—i)tu;]—=(—1)"cosu,,

et, pour que-cette valeur soit égale à -+ cosus, 1l faut que x soit pair, ce qui donne une première solution exprimée par la formule

(2} COS(2727 + Up) — COSU.

La seconde équation (1) donne u—nr—{(—1)"uw, et l’on en tirera comme ci-dessus

COS(2727 — u5) —= COS(— wo).

Or cosu — VI — sin?u = V1 — sin?(—u) est une fonction paire de u, et l’on a COS(— ü5) — COSU.

Donc on aura encore

COS(2727 — up) — COS Ho.

Par conséquent, toutes les valeurs de pour lesquelles le cosinus

138 LIVRE VI. — CHAP. III, $ 1v.

sera égal à cosu, seront données par la formule

COS(27n EU COS;

1282. Ajoutons encore quelques détails sur la marche de la fonction cosu.

Tandis que z décrit l’axe des x positifs, de o à + , en passant

au-dessus du point +1, nous avons vu que, de o à +1, ÿi—2?

e \ ° A Tr A varie de + 1 à o, tandis que u croît de o à -: d’où ; | 5

T COSO —1I, COSE=10:

À partir de z —1, le radical /1—z? prend des valeurs imaginaires de la forme —:9?, correspondantes à des valeurs de w de la

. Te 7 Fi : é forme — + 12°. Donc la valeur de cos ( à he) est dela forme — tués 2 2

Pour z infini réel, V1i— 2° a pour valeur — ic , d’où

{x \ COSIEEEN DONS 2) Si z s'éloigne à l'infini, suivant une direction d’'argument p, le o 2 P; sinus étant égal à oœe'?, le cosinus aura, comme le sinus, une valeur complexe infinie, dont la valeur approchée est — ic etr,

A ” T e correspondante à l'arc - — p +1.

HAT Te Ê .

Pour p = -; la valeur de cosu devient + pour u= +1. 2,

Deu—oàu—+iæ, cosu a des valeurs réelles croissant de +1 à +.

Nous avons discuté la courbe décrite par u lorsque z parcourt un chemin rectiligne partant de l’origine. Il est aisé d'obtenir la

courbe correspondante décrite par le cosinus V1 —72.0hlleta pour

équation

tr E + in —Vr —— re dr

ou, en éliminant 7,

E?— 2Ë6n cot2p — r°—1,

équation d’une hyperbole dont les asymptotes font avec O x les ol 7 angles p et p — ne Le carré du module de cosu — Vi—rteir est

p—=1— 9217? CoS2p + r*,

dont la valeur atteint un minimum pour 7?= cos2p, et l’on a alors p = sin2p.

Si l’on désigne par 5 l’argument de /1— z:, on trouve

Sin tang 2p nu Pr RER = ——— .

= /ACOS 21 1 D — 7” COS2p

Pounrr= O0, COSU —I, Lang 25 — 0, & — 0. Pour 7 croissant à : 2 e , fn . 27 Te partr de zéro, tang2w devient négatif, si p est +» pour rede- "À

venir positif après avoir passé par æ , et le rayon pe'® va en s’écartant de la droite re?, jusqu’à ce que, pour r = * , il lui devienne perpendiculaire.

Nous engageons le lecteur à construire et à comparer, pour un chemin rectiligne donné de z = sinu, les courbes décrites par les fonctions « et cosu.

1283. Nous avons vu [ 827, III] que, étant donnés deux arguments &, u, dont la somme est constante, leurs sinus z, z, satisfont à la relation

ANT EN 2 Const,

et la constante n’est autre chose que ce que devient le sinus de l’un des arguments, quand l’autre argument s’annule, les radicaux devant se réduire chacun à +1 pour z ou z, nul. On peut écrire cette relation sous la forme

Sin & COS, + SIN 4, COSu — Sin(u + u,).

. . To" . .

S1 l’on y fait u, ——-;il vient sinu, —=—71 et

. T : Te COS UE SNS EN SIMS TA IE 2 2

d’où : T COS = SIN | — — ZL 4 D} On tire de là et des formules précédentes toutes les relations

qui lient entre elles les fonctions sinus et cosinus.

1284. IV. Traitons, pour dernier exemple, l’inversion de l’intégrale elliptique

jL dz jf dz Ur = = RENE 0 Vli—z)(i— KZ) 0 R(z)

Nous avons vu que toutes les valeurs possibles de cette inté-

orale, correspondantes aux valeurs de la limite supérieure 2, s’obtiennent en faisant précéder l'intégration rectiligne correspondante à cette limite d’une ou de plusieurs intégrations effectuées

7. 1 le long des quatre contours élémentaires (+1), les 1) etiQue

toutes ces valeurs sont distribuées d’une manière identique dans chacun des rectangles de dimensions 4K et 2K', dans lesquels on peut partager le plan des u.

Il résulte de là que z, considéré comme fonction de u, est une fonction doublement périodique, ayant pour périodes 4K et 2:K°.

Il nous reste à établir que cette fonction est uniforme et continue, et pour cela il nous suffira de considérer les valeurs reculignes de l'intégrale u, et de montrer qu’elles remplissent complètement et une seule fois l’étendue de l’un de ces rectangles, celui qui a pour centre l’origine des coordonnées.

Faisons d’abord parcourir à z les axes coordonnés. L’axe des x

rr ] à ï I positifs contient les deux points de ramification + 1 et + Fe En

évitant le point +r au moyen d’un demi-cercle supérieur, on

: fie Ait 0 , aura d’abord, comme au n° 1276, l'intégrale | R(z) qui à Z

pour limite K [ 1262}, puis l'intégrale semi-circulaire

ip

dp = ) x VZ

qui s’'évanouit avec p, et dont la valeur approchée à une fraction

OI