INVERSION DE L'INTÉGRALE ELLIPTIQUE
près infiniment petite d'elle-même sera
DNS PRET 0 =ip I Ü — CODE 7 V2p.
ur Dans le parcours du demi-cercle supérieur, z = 1 + pet? variant de 1—p à 1+p, 1—2z variera depuis —pe= +9 à —p, et
1er: il =.
Vi— z depuis Hip°e* jusqu'à Hip?, et, comme la première de
ces valeurs doit se réduire à + po, on doit prendre pour les deux le signe inférieur, de telle sorte que ÿ1— 7 variera de + VP à 240.
: I . NC — ‘ Donc, entre les points +1 et + 7° le radical V1 — z et par suite aussi le radical R(z) devront prendre des valeurs de la forme — ih?. L'élément de l'intégrale sera donc, dans cet intervalle, de la forme + iL?, et il en sera de même, par conséquent, de l’intégrale
14 RC R o R(z)
TR re De z— -à z— + l'intégrale s'accroît de la valeur
EN
de sorte que, lorsque z parcourt l’axe des x, en évitant les deux points critiques -+ 1 et + + suivant des demi-cercles supérieurs,
u variera de o à k par des accroissements réels positifs, puis de K
HE ROTE. LIVRE VI. — CHAP. III, $ 1v.
à K+ikK/ par des accroissements de la forme + 1h?, et enfin de K+iK' à + :iK' par des accroissements réels négatifs.
De z—0oùz—+ic, sur l'axe des y, u variera d’une manière continue depuis o à + 1 K’.
Si l’on évite les points critiques sur l’axe des x négatfs suivant des demi-cercles inférieurs, on verra de même que uw variera 1°deoùà—K, 2° de —K à—K—:K!,3° de— K —:K'à— :K°.
Sur l’axe des y négatifs, u variera de o à — 1.
Ainsi, si l'on construit un rectangle de centre o et compris entre les droites x —"#ÆK y Konoit que, tandis quehzanes courra l’axe des x positifs, u parcourra la portion de contour OABCO (fig. 101). Si z parcourt l’axe des x négatifs, u parcourra OA'B'C'O (1); z parcourant les axes des 7° positifs et négaufs, u parcourra les droites OC et OC.
Fig. 107-
“K-EK = ik K-iK
1987. Supposons maintenant que z décrive un chemin recti-
ligne reër. L'argument de la différentielle sera égal à l’argu-
d'z R(z) ment p de dz, moins l'argument de R{z), lequelestla demi-somme des arguments des facteurs
1+2, 1— 2, 1+ #2, 1— Àz
de la quantité sous le radical. On verrait (fig. 102), comme au n° 1277, que, pour variant de o à © , les arguments des fac-
(*) Si z eùt évité les points Er par des demi-cercles tournés en sens contraire
des précédents, aurait parcouru les deux autres portions du contour OAB,C'O, OA’B CO.
