DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS SYNECTIQUES EN SÉRIES PÉRIODIQUES

1173. Du théorème de Laurent, démontré au n° 1148, il résulte que, si f(z) est une fonction synectique de z, dans l'intervalle compris entre deux cercles concentriques de centre c et de rayons Rs et R,, on pourra développer f(z) en une série convergente suivant les puissances entières, positives et négatives, de la différence z—c. On aura de cette manière

ou, en posant z—c— re,

) JC re He ds Die De ne I | = a; à mm 2 + HS D Ch == eu

le coefficient a, d'indice quelconque étant donné par la formule générale

2T (2) Ep [ (ce ans er)e-"irdy,

2To i €

où p représente une constante positive quelconque comprise entre Rietn.

S1 dans le second membre de (1) on remplace l’argument p par p +2kr, k étant un nombre entier arbitraire, ce second membre ne changera point de valeur. Donc, ce second membre est une fonction périodique de l’angle p, et, par conséquent, il doit en être de même du premier membre tant que l'égalité (1) subsistera. C’est d’ailleurs ce qui résulte immédiatement de la supposition de l’uniformité de la fonction f{z) dans l’intérieur de l’aire considérée; car, de ce que l’on a

C + ele ttre(P+2Ar),

il résulte alors que

Aie LE rer) = 40 Va Fe. re CEE)

c’est-à-dire que, si l’on considère dans f(c + r'etP) l’argument p

io 0e LIVRE VI. — CHAP. II, $ 11.

comme seul variable, et qu’à ce point de vue on représente cette fonction par F(p}), on aura

F(p)= F(p+2fr).

Ainsi une fonction synectique d’une variable complexe retP de module r constant est toujours une fonction périodique de l’argument p de la variable, la période. étant 27 [366].

1174. On peut donner au développement (1) la forme d’une série trigonométrique, en remplaçant les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en cosinus et sinus, et, si l’on pose

je us, MAT CUS TN EEE LC il vient En = 40 + G-COSP + 43 COS2p +...

+ 6, Sinp + f; SM2p +...

On voit aisément que, si F(p) est une fonction paire de p [288 |, le développement devra se réduire à sa première ligne et ne contenir que des cosinus. Si, au contraire, F(p) est une fonction

impaire de p, le développement se réduira à sa seconde ligne et ne contiendra que des sinus.

1175. Dans le cas où le module 7 est constant, on peut le supposer, ainsi que p, égal à l'unité. La formule (1) devient alors

(OEID = afp a eu ere

+ ane P+a er +. .,

la valeur générale d’un coefficient de cette série étant

Le p ae ni? de Lei (p)er "it do.

Le terme général de la série peut s’éerire, en faisant passer le facteur e*t? sous le signe d'intégration,

: 2T F{v)e"{(p—+) do.

ru ;

En réunissant les termes qui correspondent à des indices égaux

He ie

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. ft

et de signes contraires, leur somme deviendra

aperiP + a ein — = L F{o)cosr(p — »)dy.

Donc le développement d’une fonction de efP, synectique pour toute valeur de l’angle p et périodique par rapport à cet angle, la période étant 27, sera de la forme

| ; pe se 27 6) Fe fre +i Z [ F(e)cosn(p —)& TZ O F O

Si l’on remplace dans (3) les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en cosinus et sinus, ou, ce qui revient au même, si l’on développe, dans chaque terme de (4), la valeur de cosrz(p—), on aura une série de la forme de celle du n° 1174, où les coefficients &», D, auront pour valeurs

19T Un —= Un Tr An — - | Fe) COS 72 do, (e]

27T En = (an TA Es) = É f Fo) sin 7 0 do.

LPS

Dans le cas où F(p) est une fonction réelle de la variable réelle p, le développement devra avoir ses coefficients æ,, 5, réels, et, par suite, les coefficients primitifs a,, a, devront être des quanuités complexes conjuguées. En les mettant sous la forme

le lt Cne'rs Che in;

OÙ C, Yn Sont des quantités réelles, l’ensemble des deux termes correspondants de la série deviendra

de ent 26;.C0s| 2paw)e re

Le développement pourra donc s’écrire ainsi :

(5) Pipi= cire D c, cos (np + yn). / TN

1176. Pour indiquer un exemple du cas que nous venons de

12 LIVRE VI. — CHAP. I1, $ Il.

traiter, considérons la question du développement, suivant les cosinus et les sinus des multiples de l’anomalie excentrique, d’une puissance impaire négative de la distance d’une planète à un point fixe. ;

S1 l’on désigne par p cette anomalie excentrique, par H, K, &, G des constantes dépendant des éléments de l'orbite et de la posi- Uon du point fixe, le carré de la distance en question se présentera

sous la forme A = H + K cos(p — 2) +. Gcos2p.

La fonction À-*, u étant un nombre entier positif et impair, bien qu’étant obtenue par l'opération de l'extraction de la racine carrée, qui donne lieu à deux déterminations, pourra néanmoins, comme nous le verrons plus tard, être considérée comme uniforme et continue dans l'étendue d’une aire qui ne contient aucun zéro ni aucun infini de cette fonction, et par suite aucun point-racine de l'équation A? —o.

Or une discussion facile montre que les racines de l’équation A? — 0, qui est du quatrième degré par rapport à e/, sont de la forme

a, b étant, ainsi que 8, des constantes réelles, et pouvant être supposées telles que l’on ait

OUEN" La valeur de A? pourra ainsi s’écrire G , ANT CAT A — (1 — ae) lc ue (1 — beftz) De Di 2 ab Z Æ

On se propose maintenant de développer suivant les puissances de z — eîP la fonction

et 1l s’agit de reconnaître a priori si Ce développement est possible.

Le module de z étant égal à l’unité et les modules des racines de

l'équation À? — o satisfaisant aux inégalités

Per DRE CT TEA

(ee

le point z sera toujours compris dans l’intervalle de deux cercles re — I

décrits de l’origine comme centre, avec les rayons a et —, et cet a

intervalle ne contiendra aucun zéro n1 aucun infini de la fonction F(p). Donc le développement proposé sera toujours convergent et sera de la forme de la série no du numéro précédent.

1177. Sous la forme que nous avons donnée au développement (1) de f(c + reiP) —=F(p), la variable p est supposée n’admettre que des valeurs réelles, et la période 27 de la fonction est aussi réelle. On peut transformer ce développement en un autre qui représente une fonction d’une variable complexe, ayant pour période une constante complexe quelconque.

Posons

z—c—= réel — 6-1 ir —

e(P+iq) :

étant une nouvelle variable et À une constante arbitrairement choisie, réelle ou complexe.

La fonction f{z) = F(w) ne changeant pas de valeur lorsque p croît de 27, et par suite de À, F(w) sera une fonction périodique d’une variable complexe w, ayant pour période une quantité quelconque 1.

En faisant ces substitutions dans la formule (1), on obtiendra pour F{w) un développement suivant les puissances ascendantes et descendantes de l’exponentielle

2T Ii

et dont le coefficient a, sera donné par la formule

en posant

2Ti1V

De a DE er) — p À ;

et remarquant que, p étant constant dans l'intégration, on devra

. DS I aussi considérer y — log - comme une constante. p

On aura alors un développement de la forme

2TiW &TIiW

« (7) 2TiW ATiWw

ane et QC e Mdr ee

1178. Par suite du changement de la variable, le contour de l’aire dans laquelle était renfermée la variable z va changer de forme. Voyons par quelles lignes seront remplacés les deux cercles qui limitaient primitivement cette aire.

Hetenheudet,