RÉDUCTION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES

üuons rationnelles et d'intégrales de l’une des quatre formes

ar sir, dr dx à ER f D) Fe tite 4 =) FFT TU =} vx JTE arr (æ — a) VX

les exposants m et 2 étant entiers et positifs.

Occupons-nous, pour commencer, de la première de ces formes, qui est la plus simple, et cherchons à la transformer de manière à faire disparaître sous le radical les puissances impaires de la variable, comme nous l’avons fait au n° 428 pour le cas d’un poly-

nôme du second degré.

1297. 7ransformation du premier ordre.— Nous nous proposerons d'abord, à l’aide d’une transformation rationnelle du premier ordre, de la forme

PER ON (1) TRS Tr PRE 9" Re (air : À de ramener l'intégrale | —=; où X est un polynôme du qua-

pu *

trième degré à coefficients réels, à une intégrale de la forme

TN EC ONNT pt)

est la racine carrée d’un polynôme du quatrième degré ne contenant que des puissances paires de y, et cela de telle manière qu'aux valeurs réelles de l’une des variables x,y correspondent des valeurs réelles de l’autre. Nous verrons, de plus, que l’on peut toujours faire en sorte que A? soit une constante positive et

moindre que l’unité.

. . dx dy , Les deux différentielles —-, ———;, étant égales entre elles pour VX mVyY tout système de valeurs correspondantes de x et de 7, doivent de-

venir infinies en même temps. Or les valeurs de x qui rendent

TL ; ; x infini sont les racines

js dos A3 A4

. 2 ‘ . I de l'équation X = o, et les infinis de —= sont de même VY I RE — —3 — ] I — © k f ; k . Supposons que ces deux séries de valeurs se correspondent dans l’ordre indiqué.

La différence x — a,, devant s’évanouir en même temps que y + + où que 1+ Ày, aura, si la transformation est du pre-

; : 1+AY mier ordre, une expression de la forme b, —— 1==E7200

. et de même

pour les trois autres différences x — as, x — az, x —a;; 1—n7y représentant, à un facteur constant près, le dénominateur de la formule de transformation (1). On pourra donc poser

S1, dans les deux formules de la première ligne, on fait d’une

7 et que, pour

T Ù patx=a&, y= + de l’autre x —a,, y = —

abréger, on pose généralement