I + TE
ou. n y2n+1 “ 1) é I — gr
(11) dnu — 1 — 8: sin? x Ÿ
1— 2q°T1cos2x + que
1325. Développons enfin la fonction tnu, dont les infinis sont
202 LIVRE VI. — CHAP. IV, S$ donnés par la formule — (2m Me 1)K 0 IR
Si l’on pose Ve + (2m + 1)K + 2niK,
on aura t er K Eee Du riemis + a É J ( ) £'tne Donc —+- 7/2 — 772 tn imS | 15 D:
Du I ER nd 1 Sn k'! u—{(2m+i1)K—o2nrik ET Ho
Or nous avons trouvé EE 1]
tang z — SAUCES te e
m (am +1) - —3z
En faisant donc
a[(2m+i1)K—{u — oniK!'}] ={2m+i)-
on aura —+ ©
= eZ.
Deere x
d’où, en mettant pour z sa valeur x — 2nio,
co A
104 — Fr » (— 1)" tang (x — 2nip).
ph
Si l’on groupe ensemble les termes d'indice égal et opposé, il viendra
u : mot (12) CN 7 ATOME sn2r ne ou encore [ & PL IL (13) nu = + tangæ + 4sin2x Ÿ LA 1) q La
1+2q°* cos2x + g*"
1326. A l’aide des formules précédentes, il est aisé d'obtenir
A CORRE Fu FUN T7 / mn des deux périodes K, :K des fonctions elliptiques et les constantes Æ et K, et par suite
des relations entre le rapport —
aussi les constantes complémentaires #, K’.
Si dans la formule (3) [1322] on fait Te | Hs ES IN OÙ me ; + do,
on en tre immédiatement | 1318]
— © Gire) I D) I T a 1 AE ns ous PIE 1 TRS Se 2) k k T 2K/. TEE r Eee sin — — 2nip) als >
ou, en groupant les termes deux à deux
ns : 5 I 7. T à a (4) Se +22 C2 7 p1/e D EneET 1 1
formule qui donne la valeur du quadrant elliptique K, exprimée en fonction de p ou de g.
En faisant, dans la même formule (3),
