THÉ

sin{æo— 2Aip)

nn? 1)

Groupons, dans ce produit, les facteurs deux à deux; on aura, en mettant à part le facteur correspondant à na — 0, le numérateur

Hs ut

sn 4 sin(x + x, ul: UE (x + x) sinT, Sh?27p

Or il est facile de voir que, si l'on fait tendre uw, vers zéro, Île

rapport SNUy Sn

Sin Lo Sin #0

A } tendra vers la limite -. Donc le numérateur de sn(u + us), lorsre

1 Did a , \ qu'on y fait u, = 0, devient égal à 18 f sin?z i(u)=-sinx | | 1H ——— ):

| ñ Sh?2 7p

Le dénominateur de snu est encore la même fonction O(u) que pour les développements précédents.

| sn , ) ds Le développement de tnu— —— 5e tirera immédiatement des cn &«

deux précédents.

1330. D’après ce que nous venons de voir, les fonctions elliptiques snu, cnu, dnu, tnu s'expriment au moyen des quatre fonc-

tions synectiques sin? 6 (Q] &)=TI| + Sh(2r +1 (ar +1 nl Oi(u)— = SUEZ à | ( + es)

CAVIÉ= cosr]] (: . ans) A {l sin? x ne Il: FLAT (22 +1 )e ;

qui sont, à des facteurs constants près, les quatre fonctions $ de Jacobi, et l’on a ainsi les formules

DE on AU

sh4=- sn — , T Eu) 2KT 0,2) cnu — cn = le À : T Ou (6) IR TO 7) dnu— dn = ; T O(u) KT NO, (4) HA En — .

| T Ou)

FN (uw) K eo) ChCd ch ( —:) ee Re 7 é- 3 (7) FEAT AR RS j=2 O(x) mr: \2 O,(u) tncu = Dar : = ÿ a] Si l’on pose == et,

H. — Cours de Calc. infinit., IV. 14

210 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ 1v.

Re D GEO COS2.T + qur.

(1 a Gb }

co [ II 1— 924 "CoS2x + q°"

ET D cost 7 da CPANE cos LT RE Ù (1 Higui

V— og CNET fie qi 63 (a / a 2 2n+1\2 à | [I (1 RQ 7e)

1531. Les valeurs des fonctions © données par les formules (1), (2), (3), (4) présentent des avantages pour l'étude des propriétés de ces fonctions. Dans les deux premières, l'indice z varie entre les deux valeurs infiniment grandes — 7 — 1 et +n; dans les deux dernières, 1l varie entre — 7 et + 7. |

Pour ramener l'indice de celles-ci aux mêmes limites que celui des deux premières, il suffit de multiplier et de diviser les expressions (3) et (4) par le facteur qui a pour indice — 7 —1.

Dans la formule (3), ce facteur a pour valeur

COS [éx S DUO Se | ip] eCnr+2)e—ix e-(22+2)e+ix cos | D 1 —- 2) tp et2+2)e + er (2 f+2)0

expression qui, pour z infini, tend vers la valeur e7#, Donc on aura