DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN PRODUITS INFINIS

1327. Occupons-nous d’abord de la fonction dnu, dont les zéros sont donnés par la formule

v—(am+i)K +{(2r+i)ikK,

et les infinis par la formule v—2mkK+{(2n—+i)iK,

les zéros, comme les infinis, étant chacun du premier ordre.

L'intégrale [| $ ie c) [1214] devient ici

p [ dans ja snvu env dy Ja vdnv Li 1 p dnv sp

et, si l’on prend pour contour de 4 une ligne symétrique par rap-

port à l’origine, cette intégrale sera nulle.

Nous choisirons pour aire celle d’un rectangle ayant son centre à l’origine, et dont les côtés soient parallèles aux axes et ne passent par aucun des zéros n1 des infinis de la fonction. Les zéros qu'il renfermera s’obtiendront en faisant varier m depuis —m—1 jusqu'à + m, et x» depuis —n—1 jusqu'à + 7 [1215]; pour les infinis, on fera varier 7 entre les mêmes limites et m# depuis —» jusqu'à + m.

Cela posé, la valeur de dnu prendra la forme

fr (2m—+i)K +(27 +- sl

| uw Il:- omkK + (an + |

le produit supérieur s'étendant à tous les zéros, et le produit inférieur à tous les infinis contenus dans l’aire 4. Traitons séparément

dn Vi lim 9

ces deux produits.

Nous avons trouvé [1216]

TE

% COSILX — ZT En COST) — n : T d — nm —1 æ+(2m+i)e Si l’on pose n= © — : —%K, = n(2n +iiR = {an +i)i ES IN UTILE 0 ED Je TRE P; le numérateur de dnu deviendra COS! x — (272 +1 2 . bn JL EE C7 +0, se cos(272 +1)ip

206 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ Iv.

En groupant ensemble les termes symétriques par rapport à lPori-

gine, On a

cosfr—(27+1)ép] cosfx+(on+irjép] sin? + cos(272+1)ip cos(27 + 1)i0 a cos? (27 + 7r)io

Le numérateur de dnu, que nous représenterons provisoirement ) P par O;(u), aura donc pour valeur

co — .

| sin? x ONE PERS cree es us | à +40 Il Ch’f27 ut

expression dont la convergence est évidente [1213].

= Dr Te Si l’on remplace, dans le calcul précédent, x5 par xo — 3 on

aura, en écrivant au bas du signe II l'indice —7n au lieu de —m—1, ce qui est permis | 1323 |,

sin(r — 7% # Gui er Fe lim Il ne SIN «, T

J11== 20 es nn ete te

Donc, d’après les notations ci-dessus, le dénominateur de dnu deviendra

er :

. Sin 927 17 — lim TJ ee NT re sin(27+1)ip — 7 — 1

En groupant ensemble les termes symétriquement placés, on obüent, pour l'expression du dénominateur de dnu,

F sin? x o(x) =] E Sh? {272 + =|

1398. La fonction paire cnu à pour zéros simples les valeurs

vu—{(2m+i1kK+ozkK,

et ses infinis sont les mêmes que ceux de dnu. En intégrant suivant le contour du même rectangle que tout à l'heure, on verra

[. d'enu ue U CHU

est nulle. Donc en aura une expression analogue à celle de dnu, le dénominateur étant le même et le numérateur étant la limite

du produit LA 5 1 2 ——— —————————— …— …———— ———— ———— L Il ; (2m<+i)K + 27xkK"

Chaque facteur simple de ce dernier produit diffère du facteur correspondant de O,{u) par le changement de 27 +1 en 27. Le produit aura donc pour expression

encore que l’intégrale

En oi 1 À

(3) Es II Ces UD COS

ou, en groupant les facteurs deux à deux, { | Sin? r QU = cosx | À EN PESTE ds Ch?2%0

1329. La fonction snu s'’annulant avec u, nous commencerons sn (u ve Uo)

par chercher le développement de la fonction et nous s0 4 en déterminerons la limite pour uç—=0. .

Les zéros de cette fonction sont donnés par la formule Je y -i27iK ou KR’, : À sntu + u Ur , et, par suite, le numérateur de ie sera la limite du produit

sn &o

LU Il (- — u+2mk + RE) En remplaçant, dans la formule du n° 1216, IT, xo pe.

a(— u— KR +aonikK')= — x — = + 2nip:

208 LIVRE (VId—ICHAP. 1V, EI.

on verra que ce produit représente, pour z constant, la fonction

COST T2 xp} ; se 2 sin(x+æx,—2nip)

T | 7 sin(r,—2xio) COS | To + AE 2.7P Pr

sn(u + us)

sera la limite, pour z infini, du snu,

Donc le numérateur de

produit +71