Ù Sie / , # I 9, (x
POES Fra rte MSC = :
V4 TA Vz QE
A k 8,(x) Ro
ne 00 HE CC :
(5) S RE, (6) À Tr) ire 5. È a ;
dnu— V4 . dncu— V4! :
AE LT s nee à INC LEE
V4! dalx) VA Six)
Lorsque la constante p et la constante 7 qui en dépend seront remplacées par des quantités représentées par d’autres lettres, par exemple par p” ou g', on mettra ces lettres en évidence, et l’on écrira
dE CMOS NE TN da) LOUIS RES gs CL
Les fonctions 5, 9,, 3, sont paires; la fonction $., est impaire.
1345. En substituant les valeurs (3) dans les formules obtenues
aux n°% 4335, 1336, 1337, et posant, pour abréger,
; 1 1 —ix — "6
(9, NE Pme à
on aura les relations
L (= (Tr) = itn(e— ip = sfr Ti),
i(æ) =D (T—e)=is (x — ip) — 8 (e+ ie), (3) : k
H(r)= 8 (T—e)= E5fe— 0 = £ S- (e+T—),
Des formules des n° 1333 et suivants on tire celles-ci :
T Pour u—=u,+2mk+oniK, x—=x+om 5 + 2aip,
Sue : = (—1)#+7 p — (— 1)" : —
ns Dites
Pour u=u;+2mk+{(2r+1i)iK, Sr +am+ (22 +1)ip,
on a (13) | n—° S(r) js CIS (zx) E 1) d1(X0
de —|n+- :
( 2/ pe—(2n+1)ix
m + ee E (a)
nt
it
D9 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ v.
Si l’on pose, comme au n° 1337,
n° K ft 2.0" p” : I D ns rs = — — = —9 y) K' 2 p Te P 7 Ÿ° (12) et de plus ru? La x? x'2 a? +2 { IS a ie
la relation établie au n° 1338 donnera les formules
S (x) = JUS (2,0),
I ; En changeant dans ces formules 4 en g' ten ot dévelop-
pant le résultat de cette substitution au moyen des formules (2), on en türera de nouvelles expressions des fonctions &, qui sont avantageuses pour le calcul numérique, lorsque Æ et 4 sont trèsvoisins de l’unité, et par suite g/ très ie :
dt ETS Da ) ch (ar +1)x!
[ce]
SCA = £ 2 DAT ny T#) Sh(27 +1)x", e (14) « C2] D = “( + 2Y (— AE chan) ti dé + DT chan}
On en tire, pour remplacer les formules (6),
1347. Si l’on remplace, dans les fonctions 3, la variable réelle x parune variable complexe x +17, en s'appuyant surles formules
+iB COS (a — à “ORNE RE ee rte etc.,
et posant
co
EMI EE 29 (— 1)*q* cos2nx Ch2ny,
Evr
sin(22 +1)xCh{2x +1)r,
Sax, ér) =1+2 ÿ g*cos2nxCh27,
Al, éy)=—2Y(—1)"g"sin2nrSh2ry,
1 1 \ 7 (+5) ; l ne,
runs 2 (—1}"9 cos(22 +1)xSh(2n +i1)y,
Se
PEL V0 sin(2x +1)æSh(22+1)7,
AE ROUVIE= 2 Ÿ qsinanxShany,
on aura, pour l'indice p = 0, 1, 2, 3,
(17) Son A OO LR CE).
Dans le cas où le module serait très-voisin de l’unité, on transformerait $,(x+iy)en 8,[i(y—1ix)]. En ayant alors égard aux formules (13), on ramènerait les développements à ceux des foncuons 3,(y—1ix, q'). Par exemple, en posant, d’après les for-
mules (12),
= À VIe
234 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ v.
on aurait
(y— ix!)2
FPT) ES Nr ER Et re
PNA EEENTA EEE
et de même pour les autres.
1348. Des expressions (4) du n° 1344 il est facile de déduire les développements en séries des logarithmes des fonctions $.
On a d’abord
o T log(i— g°*) Se Dm
En sommant les deux membres de l'égalité par rapport à l'indice », depuis z = 1 jusqu'à n — © , il vient 2v
a QUE q s q Fa 2y ?
et par suite
0 à | a — —Y ne
L'expression 1—2q" COS2X + g?" se décomposant en (x eu. ( Ci (x ah qu Conde
on a, pour les logarithmes des deux facteurs,
: I n\ DV] log { I q" cn = > : gi cd
d’où
© T log(1 es AG he COS2.T + FR — 9 > — 7COS DUT.
En sommant par rapport à #1, selon que n sera de la forme 2m—1 ou de la forme 277, on aura
œ Lee) nl 2 : ds log | À (1 297 COS2%- 9 Pis sors COS 2VT 2y ?
LT 1 1 (e 2] I qe OS) A De. COS2%r RS
Si l’on avait eu à sommer les logarithmes des expressions
1+ 2q"COS2x + q°”,
on aurait eu le même résultat, au changement près de — en > 22 V ni
D'après cela, on aura, pour les développements des logarithmes
des quatre fonctions $, en posant, pour abréger,
co co
I He [I I qi 18 ER — —— = — D tri Q D 1 — q“" 2 n Sh22ç6” 1 1
les expressions suivantes,
