AVERTISSEMENT

La géométrie analytique, jusqu'à ces derniers temps, a été réduite à remploi presque exclusif des coordonnées cartésiennes. On y a joint, depuis peu, les coordonnées trilatéres et tétraédriques, mais sans les développer d'une manière systématique. La méthode analytique, qui résulte de Tusage de ces différents systèmes, suppose que les figures géométriques sont engendrées par le mouvement d*un point dont les coordonnées satisfont à une équation à deux ou à trois variables : c*est la méthode de Descartes. Aujourd'hui, on a imaginé une nouvelle géométrie analytique basée sur un procédé corrélatif pour engendrer les courbes et les surfaces : on considère les unes comme provenant du déplacement continu d'une droite dans un plan, et les autres comme résultant du déplacement analogue d'un plan dans Tespace. De là dérivent les coordonnées tangenlielles qui servent à la détermination de la droite et du plan mobile. On a négligé, jusqu'ici, de s'occuper de ces nouvelles coordonnées dans les ouvrages élémentaires. Nous voulons, dans ce cours, combler cette lacune regrettable; développer suffisamment les principes et les formules fondamentales de chaque système de coordonnées; montrer ensuite comment, étant donné un certain ordre de propriétés connues et démontrées par la méthode de Descartes, on peut en déduire, avec les coordonnées tangentielles, un ordre correspondant de vérités géométriques différentes des premières. Tel a été notre but.

Nous commençons par traiter le plan et la ligne droite suivant les coordonnées cartésiennes qui servent de base à toutes les autres. Les questions qui s'y rattachent sont ensuite résolues d'après les autres systèmes; ce qui nous conduit à quelques formules dignes d'être remarquées telles que les relations entre les coefiScients direc-

teurs d*une droite, Texpression de la distance de deux points, celle de la distance d*un point à un plan, etc. Avant d*aborder l'équation générale du second degré» nous donnons les équations de la sphère par rapport aux diverses coordonnées ainsi qu'un court exposé des propriétés d'un système de sphères. Nous arrivons ensuite à Fétude des surfaces du second ordre : elle comprend la détermination du centre et des plans principaux, Texamen des caractères particuliers de chacune d'elles tirés des équations réduites, la recherche des lignes focales et des propriétés des surfaces homofocales, la discussion de l'équation du second degré eu coordonnées tétraédriques, une série d'exercices et de problèmes avec les solutions indiquées.

Les limites de ce cours ne nous permettent pas de nous occuper des courbes tracées sur une surface; cette théorie se rattache plus spécialement au calcul infinitésimal, et c'est, par les ressources de l'analyse, qu'il convient de la traiter. Nous préférons faire connaître, en terminant, les méthodes les plus connues pour la recherche des propriétés générales des surfaces du second ordre, consacrer quelques chapitres à la génération des surfaces ainsi qu'à la démonstration de plusieurs théorèmes remarquables sur les surfaces algébriques, les courbes gauches et les surfaces développables.

Nous avons consulté spécialement, pour rédiger ce cours, les ouvrages suivants : Principes de géométrie analytique f par M. Painvin; Géométrie de directiouy par M. P. Serret; A treatise on the analytic géométrie of three dimensions ^ par M. G. Salmon; Vorlesungen iiber analytische Géométrie des Baumes, par M. Hesse; etc. Puissent nos efforts faciliter l'accès de ces ouvrages remarquables aux jeunes gens qui étudient les mathématiques, et leur inspirer, pour la géométrie analytique, le goût et l'attention que mérite une science aussi attrayante que féconde en découvertes.