L- pont
ilisfair
l'équation qu'en attribuant aux coordonnées x e\,y des valeurs de même signe; les points du lieu doivent se Irouver dans l'angle XOY où les coordonnées sont positives, et dans l'angle opposé oii elles sont négatives. De l'équaiion on tii'c
Si donc Mi, Ms, M= {/ig. IG) s MiP, M iP i — M5p-> 01», ~ OPa "" — OPî ~^"^' les triangles M,OP,,MsOPi„M30Pj
sont semblables et les angles M,OPi, SliOPa, MsOPî égaux ; lus trois points Ml, Mî, Mi sont en ligne droite; et comme ils sont quelconques, le Heu de l'équation sera une ligne droite qui passe par l'origine, l'équation étant satisfaite pour:t = 0, */ = 0.
Un raisonnement ideniique prouverait que le
est une droile qui traverse l'origine, et qui esldirigée dans les angles YOX', XOY' où les coordonnées ont des signes contraires.
Donc tonte équation de la forme ky -c Ba; =^ ou y =: mx repréaenle tine droite qui passe par Cnrigine.
«S. Prc
s enfin l'équaiion la plus générale du prcin Al/ -1- lU + C = 0.
cely
yGoosle
Posons m
.;= — --, 6 = — - ; nous aurons à considérer IVqiiation
Soit OMs
une drnilû passant par l'origine et représenlée par
Pour une même valeur de x, Yy de In première équation surpasse l'y de la deuxième de la quantité constante 6. les points du lieu de l'équation proposée seront donc situés sur une ligne PQ {fig, 16) parallèle à OMs et qui intercepte sur OY une longueur OB = b.
Lorsque b est négatif, on a
y = mx — b; e'est l'équaiion d'une droite RS paralièle ïi OMs et de l'autre côté de l'origine.
On prouvera de la même manière que les deus équations y = — mx + b et y = — mx — b représentent deux droites parallèles à celle de l'équation y = — mx.
Après cette discussion, on est en droit de conclure que toute équation du premier degré entre les variables x ety représente une ligne droite.
94. Réciproquement, vne droite quelconque sera représentée par une équalion du premier degré.
En effet, si elle est parallèle à l'un des axes, tous ses points auront une
même abcisse ou une même ordonnée et son équation sera
;c = « ou y = 6-
Si elle passe par l'origine, en prenant plu.sieurs points de la droite Mi,
Ma, Mj et abaissant les ordonnées, on aura des triangles semblables, et, par
suite, les relations
Ml P. __ MîPs
op, ^"ôp7
Soit m le rapport constant de l'ordonnée à l'abcisse; on aura pour cliaquc point de la droite
Enfin, si la droite donnée rencontre les axes, on peut toujours mener par I"origine une droite qui lui soit parallèle et ijui ait pour équation y^=mx ou y^ — mx.
Or, pour passer de celle-ci à la première, il suffît d'augmenler ou de diminuer l'ordonnée d'une quantité constante h ; l'équation de la droite proposée sera nécessairement du premier degré et sous l'une des formes indiquées dans le numéro précédent.
3S. Lorsqu'on connait l'équation d'une droite, il sullit pour la construire de chercher deux points qui lui appartiennent. On donnera donc à X deux valeurs Xi, xt choisies à volonté; l'équation fournira les valeurs correspondantes )/i,!/a pour l'ordonnée y .La droite des deux points Mi(x,, yi),Ms[xs, ys) est celle qui répond à l'équation donnée. Pour plus de facilité on détermine de préférence les poinis où elle rencontre les axes : pour a- = 0, l'équation donne l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec OY, et, pour y = 0, l'abcisse du point d'intersection avec l'axe des x.
Ex. ■ . Que siguilient les équations œ ;:^: 0, y ^0?
R. La première représente l'axe des y, la seconde l'axe ilos j:.
£\. >. Figurer le parallélogiDnime dont les cotés ont pour équadan^
Sy-I,
Que representeiil les
équations
V + j = Oi'
R. Les bisseclriees des axes.
Construire le triangle
' dent les côtés
; ont 1
)our .■qui
Zy-^-.
Es. S.
Figurer le qusdrilatère dont les eût
es SOI
it donnes
B-S = 0, Sf =
!, Sx +
Coefficient angulaii
■e. Lorsque 1
l'équ
ation d-
si rani
enée à [a forme
d'une droite PQ (/(<,. Ifi)
;/ = mx -H b.
le cocfïiciout I) représente l'ordonnée du point d'inlcrsection de la droite avec l'axe des y; car, pour a: = 0, y = 6. Cette longueur s'appelle Vurdonnée à l'origine : sa valeur n'a aucune influence sur la direction de
la droite; elle ne fait ([u'incliqucr si celle-ci passe plus ou moins près d l'oi'igioc.
Pour obtenir la signifitalion de m, menons OMs parallèle à PQ ; se équation sera
»/ = mx.
Poop nn point Mi, on aura
M,P, siri MiOP,
Soit S l'angle des axes et « celui de la droite avec OX ; il viendifl remarquant que 0M,P| = 6 — «,
sin (6 — a) Lorsque les axes sont reelangulaires, 9 = 90", sin {0 — a) =: ces a, et, par conséquent.
Le coefficient de x dans l'équation s'exprime donc en l'onction de l'angle «; on l'appelle coefficient angulaiie de la droite; ponr un même système d'axes, la direction d'une droite dépend uniquement de ce coclïicient.
Lorsque l'équation est de la forme
Ay -hBx -t- C = 0,
il faut la résoudre par rapport à y pour obtenir la valeur du coefficient
angulaire ; on aurait ainsi m ^ — - -
3T. Il existe encore deux formes très employées de l'équation d'une droite en coordonnées cartésiennes que nous allons faire connaître. Reprenons l'équation
A'j -+-U3: -i- C=0 d'une certaine droite Ali. Appelons u et b ■,s distances à l'origine des points d'iuter- I section de la droite avec les axes, cl inlro- Lliiisonscesqtianlitésdans l'équation. Pour p/=0, 3:=0A=a; d'où Bu-H C = U.
= 0, !/--^0B = 6 et, ]iar consé'iuent,
la
On en tire B == > A = — -; subsCÎtiKint ci;s valeurs, on ofiliciit
après la suppression du fadeur commun C,
Si on imagine un pnrallclogrammc dont les sommets se Irouvent sur les ases aux distances ± a et ± 6 de l'origine, les équations de ses côtés
Lorsque, dans les fonnales
on pose A = 0, B = 0, les segments interceptés par la droite sur les axes sont infinis. Il en résulte que l'équalion
O.y -i- O.a: -(- C = ou C = 0, e'est-à-dire une constante égalée à zéro, doit être regardée comme la définition analytique d'une droite située à l'infini et nécessairement indéterminée de direction, puisque le coefficient angulaire se présente
sous la l'orme - • Cependant, si on avait à considérer une droite
A^ -H Bx -H C = 0, lorsque les coeiticienls A et B lendent simultanément
vers 0, et que le rapport — -■ reste constant, l'équation limite C =
représenterait une droite à l'infini parallèle k une direction déterminée. 98. Abaissons de l'origine (Jig. 17) une perpendiculaire sur la droite AB; soit p la longueur de celte perpendiculaire, et a, (3 les angles qu'elle fait avec les axes positifs OX, OY. Les triangles rectangles donnent
i:os X cos (5
La substitution de ces valeurs fournit cette nouvelle forme de l'équation d'une droite
a: cos « -I- »/ cos [3 == p.
Pour lin système d'axes rcclangulaires cos ^ = sin a, et on aurait alors
X cos CL -i- y sia et — p = 0.
L'équation d'une droite A'B' parallèle à la premièpe de l'autre côté de l'origine mais à la même distance de ce point serait
xeos(180<' — «) -4- y £08(180" — p) -=p, ou liion
a: cos B 4- 1/ cos P = — /) ;
et, en coordonnées rectangulaires,
xcosa-f 7/sina=--p.
Dans ces équations p doit cire regardé comme pouvant être positif ou négatif et les angles « et [3 comme compris entre les limites et 1 80". L'équation générale
A)/ + Bj; + C = peut toujours être ramenée h la forme
a: cos a-t-i/sina — p = 0; c'est-à-dire qu'il est toujours possible de trouver une quantité p et un angle a propres à passer de l'une à l'autre, En effet, multiplions l'équation par un facteur indéterminé {j., et identifions-la avec la seconde; on aura les relations
[iA = sin a, fiG == cos « et pC = — p.
lin élevant les deux premières au carré et ajoutant, on trouve
p.^(A^ + B^)--l, d'où
/A^" + Ji^
Il suffit donc de diviser l'équation proposée par ± (/A^ -h B»,
29. Equation de la droite en coordi)u~ nées polaires. Soit AB une droite (/i»/, 18), le pôle et OX l'ane polaire. Abaissons 01' perpendiculaire à AB et posons OP = p, POX=«! ; ces quantités pela sont constjmtcs ))Our une même droite. Si p, a sont les eoordonnéesd'un poinlquelconqueM, le triangle OMP nous lionne
yGoosle
d'où
" cos (w — a)
C'est l'cquatîon de la droite en coordonnées poifltres ; elle s'obtient immédiatement de l'équation du N" 28, en remplaçant w par p cos w, et y par p sin ra. En développant, elle peut se ramener à la forme
§ "2. PnOIiLÉÏIES SUR LA LIGNE DROETK.
30> Étant donnée l'équation d'une droite, trouver l'angle qu'elle fait avec l'axe des x.
est l'équation de la droite donnée en coordonnées rectangulaires, on a poui déterminer « la relation
tatia; a '=m.
Avec des axes obliques, il faut prendre
sin (0 — a) en développant et résolvant l'équation par rapport à tang a, on trouve
Afin d'avoir une formule ealtnlablc par logarithmes, écrivons
tanef a )
m - i sin « -sin(S-^) „ H V.
sin a +
,in(9-
erminer
f 6 [■"Si-
d'où on (ire, pour déterminer
l!x. 1. DéforiniJiPri'aagbdohiiIruitey^ac-t-Savecl'iiïodc'SK-. R. a = (i3-W5"8...
Ex. a. Étant donriiîts les droites y=:^mx, y^=m'x, tniui des X, de la bisseotnce de l'angle qu'elles forment enlre cllei;
'""^ 2 -] -H ces {« + «') En développant, el divisant les deux termes de la fraction |ia[' cos ï c09 a', on trouvera
Eï. a. Trouver les cosinus des angles de la droite Aj;-i-Bœ + C = avec les oses.
Menons, par l'origine, la droite Ay-t-En^O parallÈle à la droite donnée. Prenons ensuite, a partir de l'origine, une longueur OH ^= r, et soient p, q les coordonnées du point M. On nuva Ai/ + B;i = ; d'où
Mais p ■= '■ eos a, 7 ;= »■ eos ,3, n et (S étant les angles de la droite avec les aïes. On
Supposons maintenant que les axes soient obliques, et projetons le contourp + î +irespectivement sur p, <i, r. 11 viendra les relations
En éliminant p, 7, r, or) aura
j 1 eosO cos«|=0,
eos e 1 eos ,3
I eos B eos ,3 1 1
ou bien, en développant,
C'est la relation qui esiste entre les cosinus d'une droite avec deu elle se réduit à eos' k -t- eos" p =; 1 , pour des axes reclan gui a ii'es. Cela étant, les deux premières équations donnent
!f -4- 7 eos e "■ j) eos -f- ï '
y (A-Bcosej«-t-(A eos 0-ll,'-2(A-lieos 0) (A eos - E) uns H ^/A'+li^-a Ali los
Ex. «. BaoïHner l'pqualion Ay -i-Bï -(-C==0 d'une dmlP rapptirtée à des ax obliques à la forme x cos ^- + y cos j3 — pz=0.
Si an identilic la première éc|uuti(in avec la secondu, aptes l'ovnir muldpliée pai' i facteui- indélermiiië l, on aura les l'elations
pk = ces 3, ,iB = fos tt, y.C = ~p^ en sulistituaiit dans la relation (k) du numéra précédent, il vient, pour deti i' équation
p' (A^ -t- B= — 2AB cos &) — siii' 1.
Il faudra donc mnlti|ilier l'équation proposée par le facleur
±1/a^-i-B'— SABeose 31. Trouver l'angle de deux droites données.
Les lîquatîons des droiles données peuvent toujours se ramener à h forme
Menons, par l'origine (/(j. 19), deux droites parallèles atix premières : elles auront pour équations
(V)tj^mx, (2') y^m'x,
et feront entre elles le même angle que les droites proposées. Soit 9 l'angle eherelié, a. et a' les angles d'ioelinaison des droites (r) et (2') sur OX.
On il évidemment
^ ' "^ 1-4- langa-tanga'
Or, si les a\os sont rectangulaires, la
aura done, pour déterminer ip, la formule
Lorsque les droites sont perpendiculaires, 9 = g
lellc ost ia rd.ilioii qui doit cxislcr oiili'c les cocITioicnLs nngii lieux (Imites pour qu'elles soient perpenilieiilaircs.
Si elles sont parallèles, ç ^ et tang tp = ; d'où m =^ m' ser dtiioii <li] pnralli^lismG de deux droites.
Quiind les droites proposées ont des équations do la l'orme
lî , It'
on a : m = — - --) m =■ — — ; cl, dans ec eas, A A
Ri' ATi'
AA' -V- itJ!' La condition de pcrpendicnlarité csl
AA' -t- Bit' = ; et celle du parallélisme
c'est-à-dire que, si deux th-oitos sont parallèles, les coefficients des v blés sont proportionnels.
Supposons, maintenant, que les axes soient obliques ; on a alors
""'•'■- i'"L,i>- '■"!"■■' -rH^e'
cl l'on trouve, après la substitution dans la relation {k),
Avec la seconde formi
*^"^ ^ ^ AÂ^Tinï^^^7ÂlF^njÂViis~0 ' La condition de porpcndiciilarité pourics coordonnées obliques est diu •1 + mm' H- (m -h m') cos = ; ou bien
AA' ■+■ ItU' — {AB' -h UA') cos = 0.
Ex. 1. Cliojtlicr l'angle des droites
io! -+-,/- 0=0,
R. jy- W...
(,»•-«■) sine
;osy
li d'équations, on aurait
(BA' — AB'jsinQ
V,\. 8. Eti'ii'i; l'cijuiilioii il'uii« droite ()iitlcoui|ui? faisiiiiL un auylo dt -iii" uH'C lu
Jis. ». Moiili'ci' qu'on ]io jieut avoir eu même temps m — w.' = 0, l + „™' + (m + „,'),ose = 0.
£.\. 4. DctcrmiiicE' l'angle du deux droites, coii unissant les cosinus des niigles qu'elles fout avec \es axes.
Supposons que le poiut (1'), dans la figura précédente, ait pour uoordonnùcs p et 7, et soit r sa distance à l'origine. Projetons le contour ;n- 7 -h r respeolironienl sur ]•, ij et 02'. Il viendra
ïieo3a'-+-</coS|î' = ''eosi>.
sin= a eos i- =: œs a eos «' + eos jS eos ,5' - (coi .. ces ,9' + cos ,3 cos «') eu. ; clic se réduit a
cos y ^ cos a cos a' + eos ^ eos )3',
3Ï. Troucer l'é'/ualioit ijénérah des droites parallèles à une droite dontiée.
Sii|>imsans d'alitifil iiui; in droite donnée soit l'cprésenléc pur
On sait que les coefficients angulaires de, deux di'oiies de mcnic dii'cclion sont égaii\; par suite, l'équation
s =.«« + !, OÙ A est arbitraire, déiinira toutes les droites jiaralJèles à la iiremière.
Si la droite donnée est Ai/ -i- Bx -\- C ^ 0, hi condition du iiorallélisnie peut s' de l'ire
