partie de la circonférence. D'après la
a question, le point M sera sur OAi à une distance du point O
: pai'tic de ce raycn. On n donc, la proporl
dou, en posant « = —'
C'est l'équation e lie reliée.
Il sera facile de construire la courbe par points. Après avoir partage, par exemple, la circonférence en huit parties égales par les points Âj, Ai, Aj..., on tire les rayons OAi, OAs, OAs-.. et on prend sur chacun d'eux
--, ô ' 5 "■ "l" rayon. La courbe ainsi obtenue passera évidemmeiil par le
point A.
Si on suppose que le rayon fasse une iiiQuité de révolutions autour du poinlO, cl que le point M parcoure à cliaqne tour la longueur ilu rayon, la courbe se continue indélininient en forme de spirale.
17. Ces exemples suffisent pour montrer que la simple notion des courdonnées conduit à représenter une ligne géométrique par une équation. Déplus, nous arriverons bientôt aux conditions et formules qui expriment les relations de situation de points et de droites. Dès lors, pour démontrer une propriété d'une figure, on n'aura plus qu'à se servir d'expressions analytiques connues, à les combiner entre elles, pour arriver à la relation algébrique qui exprime la propriété indiquée. On remplace ainsi loulc démonstration graphique par une opération de calcul.
§ 4. CLASSlFICiTlOS DES LIGNES l'LiNKS.
18. On divise d'une manière générale les lignes planes en lignes algébriques et en lignes transcendantes : les premières sont représentées par des équations qui ne renferment que des opérations algébriques à clFeetuer sur X et )/ ; les lignes transcendantes ont des équations où se trouve un sinus, un logarithme ou tout autre signe trajiscendant qui se rapporte à ces variables.
Les lignes algébriques se partagent en différents ordres suivant le degré de leurs équations : ainsi une ligue est dite du second ordre, si son équation est du second degré en .x et y ; une ligne de l'ordre m est celle dont réqudtion est tlu degré m.
La nature d'une ligne étant indépendante du choix des axes auxquels on la rapporte, une bonne classificalioo doit s'appuyer sur une base invariable avec les changements d'axes coordonnés. Or, nous avons vu que les formules de transformation, pour passer d'un système d'axes à un autre, ne changent pas le degré de l'équation. Donc le partage des lignes en différents ordres comme on vient de l'indiquer est légitime; une courbe de l'ordre m le sera toujours pour tous les axes possibles.
Chaque ordre renferme aussi plusieurs espèces de courbes suivant les valeurs attribuées aux coefficients qui entrent dans l'équation générale. C'est ainsi, comme nous le verrons bientôt, qu'il y a trois espèces de courbes du second ordre. Newton a prouvé l'existence de soixante-douze espèces de courbes du troisième ordre, et, depuis, ce nombre s'est accru de plusieurs espèces nouvelles.
19. Une ligne de tordre m ne peitl être rencontrée par une droite en plus de m points.
En effet, rapportons cette ligne à deux axes dont l'un OX coïncide avec la droite donnée. Avec ce système d'axes, l'équation de In courbe est du degré m. Pour les points d'intersection avec l'axe des a;, on ay = 0; cette hypothèse introduite dans l'équation fera disparaître les termes qui renferment y et il restera une équation en a; qui sera au plus de degré m; elle donnera au plus m valeurs pour les abcisses des points d'intersection de la courbe avec la droite XX'.
II suit de cette propriété qu'une ligne du premier ordre ne peut être rencontrée par une droite qu'en un point ; toutes les lignes de cet ordre seront des droites. L'hyperbole, qui est une ligne du second ordre, ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points; la Icmniscale en plus de quatre points, etc.
30. Il arrive quel(|oefois qu'une équation du degré m se décompose en un produit de plusieurs facteurs de degré inlérieur. Dans ce cas, elle représente plusieurs lignes d'un ordre moins élevé. Ainsi une équation du troisième degré qui pourrait se mettre sous la forme :
{ax ■^- hy + e) (mx^ + pxy -*■ qy^ -v- s) = 0, représenterait ujie ligne du premier ordre donnée par l'équation
«X -1- fiy -H c = 0, et une ligue du second ordre par
nix^ + pj-jj -t- q'j^ -+-,? = 0.
De même i'cqualîon du degré m
(aix ■+■ hiy -*- C])(c!s37 -+- Ky + Cs)--- (««a; -H bmy -i- c^) = donnera un système de m lignes droites; c'est un cas parliculier d'une ligne de l'ordre m, et il armera quelquefois qu'une propriété de cette dernière s'appliquera au système de ces m droites.
Remaruue, De toutes les lignes planes, les plus remarquables et les mieux connues sont les lignes du second ordre. Les géomètres de l'antiquité en ont l'ait la découverte en coupant par un plan un cône droit à base circulaire ; c'est ainsi qu'ils ont été amenés à les étudier et qu'ils sont parvenus à en démontrer plusieurs propriétés importantes. Apollonlus (247 ans flvani J.-C.) a réuni, dans un traité en huit livres, ses propres recherches sur ce sujet avec tout ce qui ûvait été fait avant lui. D'après les principes de la géométrie analytique, ces courbes sont représentées par l'équation générale du second degré en x et y. Avec cette équation et par des procédés inconnus aux: anciens, on a pénétré plus avant dans la nature des lignes du second ordre, et augmenté considérablement le nombre de leurs propriétés; aussi leur théorie fera l'objet d'une grande partie de la géométrie plane : il est indispensable de s'y arrêter un certain temps pour aborder plus facilement l'étude des courbes d'un ordre plus élevé.
CliAPITlili U,
LIGNE DROn
SowiiAiBC — Fmmes diverses de l'é^tinlion du premii:!' degré. — Prnhlbncs . — Droil'i itanginatre Equalion» de degré »iip(U'ieur repréneiilaiil des /ipiici droites, — Uitlitrt/ie de Iteiix geomélriqtiei du premier degré.
ÉQUATION m;
?1. L'é(jiiatii)n la plus siiiiplo du pieiiiiiii- t\v^ Ci'ine qu'une coordoiméc, jtiir exemple
X =^ ~—-~\ et, eu posant a
Pour rinicfpréler, menons à volonté dans !e pian {/ig. liS) deux axes OX, OY et prenons sur le premier une abscisse 0A = o. le point A appartient au lieu de l'équation; il en sera de même de loua les points de la droite DC parallèle à OY el traversant le point A : car ils ont tous pour abscisse o; d'ailleurs, aueun autre point du plan ne pouvant satisfaire à cette condition, j'éqna' tiou proposée représente une droite paral- \i;\c h l'axe des ;/. De même l'équation
Ay -t- C = nu'on peut ramener à la forme
a tel que Olf = 6.
c El' pnruJlèl
à OX c
■eiiconire OY en un poi
Ainsi toute équation du pyemie.r degré, qui ne ri donnée, représente une droite parallèle à la coordom
etjuu
le qui n'a entre pas.
as. Considérons maiiilcnant une équation qui rcnrermi; les deux variables X et y sans torme constant; clic est de la forme
Al/ + lîr = 0.
]i E(\ la l'ésolviint |)^ir rapport à y et posant m = — -,
, elle dcvic
s Icc
1 posi
Ltîf, i
est cvidci
