Trouver l'équitiion de l'axe extérieur de similitude
Il suffit de chercher l'équation de la droite qui joint les points {!) et (3) du numéro précédent. Les coordonnées rectangulaires de ces deux centres de similitude sont
yGoosle
et ['équation de l'axe extérieur du similitude pcui se nicltre soirs lit forme
(7) [n{h - 6.) -*- r, {6. — 6,) -1- r,(6, — h^)]x — [i-o(ai — a,) ■*- r, (a» - os) + Mat — «<,)])/
-H ?o(a,6s — a.6i) -4- I-, («A — flsfiî) + )■= {aj„ - a A) = 0. On IroQverait de la même manière les équations Ae.s nôtres axes de similitude.
133. Déterminer te pôle de l'axe extérieur de simililude. Nous avons trouvé (N" 128) pour la polaire du centre extérieur de similitude des cercles C,, et C, par rapport au premier, l'éqnaîion
(8) C, -C„-[ôi^-K -r„)=] = 0.
De môme, In polaire du centre extérieur de simililodc des cercles C„ et C, relativement à C^ sera
(9) C, - C„ - [ol^ -(;-,- r^fJ-0.
où 02 est la distance des centres de C^ et C,. Les droites (8) et (9) doivent passer par le point demandé; en résolvant les équations par rapport à a: et y, on aura les coordonnées reclangoiaires du pôle de l'axe extérieur de similitude des trois cercles par rapport à C^.
133. Nous allons terminer l'élude du cercle par la resolution d'un problème iiilércssant et qui a déjà reçu plusieurs solutions. Ce problème consiste à détermin
Soient 0, 1, 2 les ccn-
C„ = 0, C, = 0, Cj—O; a; et y les coordonnées du I centre du cercle inc et r son rayon. On expri- I raera qu'il est tangent iniéricurement ou extérieurement à l'un des cercles proposés, en égalant la dislance des centres à li des rayons. Ce qui conduira aux égalités suivi
ou bien
La combinaison des signes donne Uei] à huit solutions distinctes ; mais le nombre des solutions réelles dépendra de la position respective des cercles donnds. Quand ils sont extérieurs l'un à l'autre, on a : 1° Deux cereles dont l'un touche les trois cercles donnes intérieurement et l'autre extérieurement; 2" Trois cercles ayant des contacts extérieurs avec deux des cercles donnés, et un contact intérieur avec le troisième; 5° Trois cercles ayant deux contacts intérieurs et un contact extérieur avec les cercles proposés.
Dans chaque cas, on pourra toujours écrire trois équations de la forme (a), en ayant soin de donner aux rayons r,, r^, r^ des signes convenables. Par exemple, pour les deux cercles qui touchent les autres, l'un intérieurement, l'aulrc extérieurement, on aurait les égalités (10) C„ + )■/=(!■ -4- j-or, C,+r/ = (r+r,)% Cj + n^=(r ^-r,)^; (10') C,-t-V= {»—'■»)'- C, + r,' = {r-r,)% C,-t- ,;'-^{r^r,y.
Les relations (a) renferment donc ta solution analytique du problème; il faudrait résoudre ces trois équations par rapport aux inconnues x, y et r, pour obtenir tous les éléments d'un cercle qui répond à la question.
134. Nous nous proposons, dans ce qui va suivre, d'indiquer un moyen de décrire un cercle tangent à trois cercles donnés sans résoudre les équations (a). D'abord, si on retranche les équations (10) membre à membre, on obtient
G, —C, = 2r(i-, — r,), (i\) C= — C„ = 2r(r, — rj,
C„ — C, =2i-(ro— r,).
En multipliant respectivement ces dernières par r,,, n, )'î, et en ajoutant ensuite, la somme des seconds membres est nulle; on a donc l'équation (12) (-«(C, — Cî) -i- n (Cî — Co) + rs (Co — Cl) = 0. Les coordonnées a' et ?/ du centre du cercle cherché doivent satisfaire aux relations (H) et (12} qui découlent des équations (10). Mais si on remarque que les diffcrciices Ci — Cj, C» — Co, Co — d sont du premier
degré en x et y, et qu'elles représentent les premiers membres des équations des sécantes communes, l'équation (12) est celle d'une droite qui passe par le centre radical. De plus, elle ne change pas si on écrit — r^, — n, — ra au lien de Te, r,, i-j : cette droite renferine les centres des cercles tangents exléricurement et intérieurement aux cercles Co, Ci, Ca. Le coefficient angulaire delà droite (12) a pour expression rniai — fti) -<- ri (au —«a) -t- r^(ai — an) r«(6, (,,) -^ n (60 — 6.) -+- r, (61 ^ h) ' tandis que celui de l'axe cxlérieur de similitude est (K" 151} ro (6, - 6,) + r, ib„ — fta) -^ r, (61 - M >"o(oa — «0 ■+■ ri{aa — as) ^^- rs{a, — «o) La droite représentée par l'équation (12) est donc perpendiculaire à l'axe extérieur de similitude. Si on étend cette conclusion aux autres axes, on a la proposition suivante :
Les centres des huit cercles tangents à trois cercles donnés sont sitvés deux à deux sur les perpendiculaires abaissées du centre radical sur les axes de similitude.
135. Considérons spécialement le cercle qui touche intérieurement les trois autres et dont le centre est s (ic, y).
Soient {j:' y') les coordonnées de son pointde contact avec Co ; ce point divise la distance sO en deux segments égaux à r^ et )■, et, par suite,
, rnX ■+■ )■«(, , j-uj/ -+- rba
d'où
(r -i- fd) x' — rao (1-+ ra)y' — rbg
Ces dernières valeurs doivent satisfaire aux équations (■! 1 ). Remarquons que la substitution des expressions précédentes, dans une fonction de la forme ax -^ hy -h c, donne pour résultat
{ax' ■+■ bij' -+-(.■) (hho -4- bbc ■+■ c),
c'est-à-dire, qu'il faut multiplier par • ~ la valeur du polynâme pour
lier ensu
ile
■ndiiit il(
■- p,ir
Cela
élant, 1
e siibsii
iiicp
«. ,!,u.li.
donner!
- - (Ol^
même polynôme po de y dans les deux ■
__J (CV - C\) - - (" 'V - 01 ^ + ,V) == 2K'-o - rO,
où C'o, C',, C'a sont les valeurs de Co, d, C3 quand on remplace x et
par x' et y'. En simplifiant et supprimant les aceents, on olnient de
équRtions de la forme
C, — Cq r
qui rcpi'iisentenl deux droites passant par ie point de cimtacl (x', ?/').
Comparons ees équations avee celles qui détenniiirnt le pôle de l'a cxlérieui' de similitude (N" J32), et qu'on peut eerire
r. — r. c, — Co
La sonstraetion de ees deux éftalilés conduit à une nouvelle équation
représentant une droîlc qui passe pav le centre radical et le pôle de l'axe
extérieur de similitude ; car on a
02 —{i\ — rj' 01 ~(r,
D'un aulrc côté, si on retranche (13) et {14) membre h membre, on retrouve la même équation ; il en serait encore ainsi, lorsqu'on remplace '"o! '■'i ""aj !'"'■ — ''o' — ""lî — '"'• ïl "" résulle que la droite qui joint le centre radical avec le pôle de l'axe extérieur de similitude par pa|ipoi't à Cfl, passe par les points de contact de ce cercle avec ceux qui touchent les trois autres intérieurement et extérieurement.
En généralisant ce résnilal, on a que les droites <jiii passent pur le centre des sécantes communes et les pôles d'un même axe de similitude, par rap-
— If.i —
■jioft à chacun des cercles donnés, rencontre itl ceux-ci i;n six points qui sont les points <U contact de deux cercles tangents à Co, Ci, Cj,
Ainsi pour dûcrire le cercle qui Couche les trois cercles dotinds ijilérieuremcnl, il faiU dtStcrmiDer les pôles pj, J)î, ps de l'nxe exlérieur de similitude relativement eus trois eereles. Si est le centre radical, les droites 0/)i, Ofi, 0/)s rencontrent les eereles in lépieii rement en trois points qui sont les points de contact. On abaisse ensuite une perpendicnlaire du point sur l'axe de similitude; la ligne qui joint le cenlre d'un cercle avec son point de contact diSlerminera, par sa rencontre avec la perpendiculaire, le centre du cercle cherehéC).
(t) L c solut a I que fsi (loniico par O. Hisse dans un oiiuscule inllLulé : ] le g ous d n aljllsclieii Géométrie Jer geradca Linie des Punliiea «nii des K e aes I e pz g 1865 I c cercle qui touche trois eereles donnes jouît de iiomlireuscs pop êtes ïo PoNctLtT Truite dea pi'oprtélÀs projeelimi des figures, Vomc \, \M.
ciiapitkl: vi.
