RP
nip mr mp mr
Il est visible que les droites homologues directes rp et RP ninsi que r'p' et R'P' sont parallèles; d'un autre c6té, si on ajoute membre à membre les équations (rp) et {R'P'), [r'p') et (RP), on trouve
el, par conséquent, lus points d'intersection des droites homologues inverses se trouvent sur l'axe radical,
196. Trouver les coonJonnées des centres de similitude des cercles Cû = 0, C, = 0.
Soient
A» = a„M + 6„n -4- 1 = 0, A, = a.M h- bii) -t- 1 = 0, les équations des centres des cercles donnés; ceos-ci seront représentés par
A.' - r," (.<■ * .•) - 0, A,' - >•,• («• + .') 0, dans lesquelles u et v sont tes coordonnées d'une tangente quelconque. En retranchant CCS équations membre à membre après les avoir divisées respectivement par r„^ el r,', on obtient
Celle relation est satisfaite par les valeurs de « et v qui correspondent aux tangentes communes, et, par suite, les équations
représentent les points de concours de ces tangentes ou les centres de similitude des deux cercles. La première donne ie point que nous avons appelé jusqu'ici S, el dont les coordonnées rectangulaires sont :
la seconde pepr^sent« le point de concours des tangentes intérieure les coordonnées rectangulaires de ce point sont
La forme des équations (a) met en évidence cette propriété des centres de similitude de diviser harmoniqucment la distance des centres des cercles.
— iU —
lîï. Trouva- les é<iuattons des tangentes communes anx cercles Co = Oet C, =0.
Les tangentes menées d'un point exlértoup (x', y') au cercle C,, ont pour équation
[[X - «„) {X- - a,) -H (y - /-„) Cv' ~ 6„) ~ r,'Y
Pour obtenir les tangentes communes extérieures, il suffît de remplacer
x' et y' par les coordonnées du point S; après quelques réductions, on
trouve
- [(i - ..)• + (j, - l.)> - r.'] [Od ' - (r, - .■.)•] 0, ou 0) représente ]a distance des centres. On peut transformer cette équation, en remarquant que l'expression renfermée dans la première parenthèse est égale à
En substituant, l'équation des tangentes extérieures est de la forme j C, - C„ ~ [ÏÏT' - (r, - r,Y]\-' ~ 4C„ [OÎ' - (r, - r^f] = 0.
1*8. Trouver les Équations des polaires des centres de similitude relalivement aux cercles C„ = 0, Ci =0.
La polaire d'un point (x', y') relativement au cercle C a pour équation
{X - «„) {X' - «„) + {y- 6„) (y' - b,) ^ r.' = 0. Pour obtenir la polaire du point S par rapport au même cercle, ii faut poser
, «ofi — a\ro , 'fort — feiCo
ri — *■« ' i-i — l'o
Après la substitution, on obtient
— 15o — OIT, en vertu d'one traiisformntion indiqucc au numéro précédent,
C, — Cn — [Ôï^ — (!■, — 7-„)^] -= 0.
Pour la polaire du même point reliilivement <iu cercle Ci, on aurait
ou bien,
C, — Co + [OÎ' — (n ~ r^Y] = 0.
Enfin, en répétant le même calcul pour le centre de similitude Si, on
trouverait pour les polaires de ce point relativement aux cercles G, et Ci,
Cl — Co — [Ôl' — (co -+- r,)'] = 0,
Ci — Co -t- [oî' ~ (ro -1- r,Y] = 0.
On déterminerait les coordonnées des points de eontaet des langenles extérieures et intérieures, en combinant ces équations avec celles des cercles Co et Ci,
§ 3. SYSTÈME Dl; TllOIS CEHCLRS. — I>U CEUCI.E TAMJE CERCLES DONNÉS,
139. Considérons, dans un plan, trois cercles représentés par
dont les centres sont les points (flo, b^), [a,, h,), {ch, h,), et les rayons l'u, r,, l'ï. Les sécantes communes des cercles pris deux à deiij; ont pour équations
Co"Ci — 0, C, — Cs^O, Ci — Co^O.
el, par conséquent, elles se coupent en un même point appelé centre radical des cercles donnés. En vertu de la signification des quantités Co, Cl, Ci, ce point jouit de la propriété, que les tangentes aux cercles issues de ec point ont même longueur. Le centre radical est ainsi le centre d'un cercle orthogonal aux trois autres el dont le rayon est la longueur commune des tangentes. Deux des trois équiitions précédentes, par exemple,
Cl — C, = 0, Cs — Co=-0,
serviront ii calculer le centre du cei'cle crtljogonal; le rayon s'nblteniini en subslitiianl les valeurs trouvées pour x et y, dans l'une des expressions Cb, C, Cs.
130, £es centres de similitude de trois cercles sont situés trois à Crois sur quatre droites.
D'après leN'iaG, les points de concours des langentes extérieures sont représentés par les équations
A,. A, A. An A" Ac
et les points d'intersection des tangentes intérieures par
(4) ^" + J^-0, (li) ^ + ^-0, (6) ^H-i"=.0.
La forme Je ces équations indique que les trois premiers points sont en ligne droite, ainsi que deux des trois autres avec l'un des points (1), (2), (3). Les coordonnées rectangulaires des six centres de similitude se calculent facilement au moyen des relations précédentes. Les droites sur lesquelles se trouvent ces points sont \cs axes de similitude des cercles donnés; celle qui joint les points (d), (2), (3) s'appelle axe nxtérievr de similitude. Ces points et ces droites existent toujours, quelle que soit la position relative des cercles Co, Ci, Cs.
Il résulte de ce théorème que, si un cercle S =^ touche les deux cercles Cd=0 et C,=0, les points de contact sont en ligne droite avec on centre de similitude de C, et C^ ; car ces points de contact sont deux centres de similitude des trois cercles S, Cj et C,.
