COMQUES ASSUJETTIES A CERTAINES CONDITIONS
lao, L'i'iiiiiiliuii la jiliis gonoivile du sctond degii; en x et !/ est du In Curiiie
(I) kif >F aiSry -t- Cx^ -t- W;j -i- aiîx H- F = 0,
dans laquelle A, It, (], D, E, I' sent des cocHîcicnts posilifs ou négnlifs; diins ie» ciis jiarlieuliei's, plusieurs de ces coefticïeiils peuvent être nuls; mais, iioiir que l'équiiiioii soii du second degré, l'un des trois premiers doit toujours être différent de zéro. Résolvons l'équation par rapport à y; il viendra
(3) y :;=-, "^ "1" '! ± -(/(11- — AC) j:^ + 2 (lil) — \\L)x + U^ — AF.
Si le eueffîeient A n'est pas nul, un peut poser ;
„i^ , t = __., R=-l/(li= — AC)x^+2(l)U — AE)j- + l)*~Al'i
et la valeur de l'oj'clonnée y devient
Menons danç le plan deux a droite D reprcscnfée jiur
;nn([nes OX, OY, et eonslriiisons la
D'après requalinn (3), les points de la courbe s'obtienneni en augmentant et en diminuant l'ordonnée de la droite D,de la valeur de l'expression It pour l'abcisse correspondante ; ils se trouvent donc, deux à deux, sur des parallèles à OY, de chaque côté et à égale distance de la droite D, qui jouira de la propriété de passer par les milieux d'une série de cordes parallèles. Celte ligne D est nommée diamètre de In courbe.
La forme du lieu représente par l'équation (I ) dépend de la quantité R ; pour l'obtenir, il faut déterminer les valeurs de x qui rendent le radical réel ; car, pour ces abeisscs, les ordonnées fournies par l'équation (5) sont réelles, et les points correspondants du lieu existent. On y parvient par la W'gle suivante : lorsqu'un polynôme du second degré de la forme ax^ -i-bx -t- c, égalé h zéro, donne des racines égales ou imaginaii'es, il consciTC le même signe que le coefficient de x^, quel que soit a: ; il en est encore ainsi, quand les racines sont réelles et différenics, excepté pour les valeurs de a; comprises entre les deux racines. Posons A = B^ — AC ; il ya lieu, dans la discussion de l'équation (3), de distinguer trois cas, suivant que A ou le coefficient de x^ dans le trinôme sous le radical est ncgntif, positif ou nul.
laj, Pfcmier cas .- A<0. Soient :>;' et a; radical égalé h zéro ; en mettant le sigt négatif de Aen évidence, on peut C'
Ii = ||/- A{x-x'}{x^x"}.
Si les racines inégales, il n'y
compris entre x' et x" qui, substitués îix, donneront un radical réel. Prenons OP' = x', et OP" =x" ; les points di
incs rlu li'inôm
:"sont réelles et e les nombres
trouver dans la
portion du plan située entre les parallèles à OY, menées par les points P'
„ ici —
clV". U'iiillcuî'sy ni! peut pas lieviiiiir infini piiui' une valeur de x com- |)risc eulre x' et x", ut In courbe de l'éiiuntion (3) sera nëccssai rement fermée, comme le montre la figure.
Les deux points du diamètre A' et A" appartiennent à la courbe; car, pour x^x' etx = x". Il = 0, et l'ordonnée de la courbe (3) ae réduit ti l'ordonnée du diamètre. Quand l'abeisse x varie de x' à a;", R, qui est nul au point A', augmente d'abord pour diminuer ensuite et reprendre la valeur au point A"; entre ces limites, il existe une valeur de a: <jui donne à It sa plus grande valeur^ et à laquelle correspondent les points M et M' de la courbe les plus éloignés du diamètre. Pour déterminer cette abeissc, écrivons
li^-=^l^A{x~x'){œ"-x).
La quaulité R est muximum avec le produit (x — x')(x"—x'); mais, dans ce dci nier, la somme des facteurs est constante et égale à x" —x'; sa valeur est maximum, lorsque les facteurs sont égaux. Posons x—x'^x" — x;
on en tire, a = — - — : c'est l'abscisse du milieu I deP'P", En substituant
'Vâ:
elle représente un point réel situé sur le diamètre, et dont l'abeisse est ic = a;' : seule valeur qui puisse faire disparaître le radical imaginaire de réquationi.
Ëniin, si les racines x' et x" sont imaginaires, il n'existe aucun nombre réel qui puisse rendre la quantité sous le radical positive ; l'ordonnée ij est imaginaii-e et la courbe n'existe plus.
La ligne du second ordre qui répond à ce premier cas s'appelle ellipsi:; elle est caractérisée par la relation : B^ — AC <0.
£x. t. Que re^iréseutcnt Jus équations
(il V - ixij-i-'2x' — % — âi + !) = 0.
(-2) ly' — 2xy + il" + 2y — liœ -t- lô = 0,
yGoosle
Des ellipses i pour ces tiquatitins, B' ^ AC < 0. La pi-rmicre ruprciscnle une pllipsn réelle comprise eulre les parallèles ic^i = 0, œ — S=;0; le diamètre est j = 531-1-) eL, pour x^3, It prend sa valeur inaxiniiim {. L'équntinii (2) repriîsente le point (3, i) du diinnètre y = a; — ! ; enfin, l'ellipse de l'équation (3) est imaginaire.
Ex. «. Indiquer la position des courbes reproseutëes par les équations siiivaiiles :
(1) !/5 — Sœiy-t-â*' — 2y-3j^ + 7 = 0,
(2) y^ ■+■ 2x1/ ■+■ IOj' - !)j! = 0,
H parallèles x — 3 = 0, œ —2=0; l'équation Jii diamèU-e est </=»-+- 1 ; pour 3: = -.
R est m^xïvmuTi et égal à - - L'ellipsn .le l'éqiiafioii (2) passe p à la parallèle a- — 1 = ; le diamètre est y = -~x. Et R est L'équation (31 représente une ellipse symétrique par rapport ai El. 8. Que représente l'équation
dJ!» + b</ H- px ■+■ q<i -H î- = 0,
lorsque n et û sont de même signe?
Une ellipse dont le diamètre esÈ parallèle aus ïi si ii = !i, i cerele ; ou doit donc regarder le cercle comme un cas particulii
l!x. 4. Quelle est la condition pour qne les équations
le et se
représentent dos ellipses?
Il faut que le cocriicicnl a soit positif.
13S. D'iiixihne cas: A > 0. Supposons que Ins racin nèmc SOKS le radical égalii il zéro soient réelles et difFerentes; on aura
Les valeurs de a: comprises eiilre x' et a^' rendent R imaginaire ainsi que l'ordonnée y de réqiitition (3), Prenons OP'=x'ctOP"==x"; il n'y aiii'.i aucun poini du licti dans la partie du plan intcrceiitée par 1
= 0. M<iis,qLi!
)D , R est loiijoui's l'cel et augmente indëfin
ou depuis X' jusqu'à i*j , n csi miguuia rtui tt augiiifiiii; 111111:11111 lui:
avec X. La courbe se composera de deux branches dislinctcs pariaut à
oints A et A' et s'éloig Si les racines sont ég.ili
rie depuis x" jusqu'il -i- ot ugmenle indërmimi distinctes parlant i sens du diamètre.
lu second degri:
qui se coupent sur !e diamètre D; droites D, D,, D, sont égales.
Enfin, loi'sque les racines sont rcciqui puisse annuler le radical; i et la combe embrasse tout le plan
, piuir
c = x', les ordoni
ren-
I dé-
i-appro-
imaginaires, il n existe aucun urtîs R est toujoui's r^el quel t\\
de chaque côlé du diamètre s contrer cette droite. Si l'on terminei' ]es points les plus cliésdu diamètre, il faut, dans chaque cas, tuiroduirc un carré sous le radical, et mettre R sous la forme
où t^eslnécessaircmentune quaiililé Fia, 50. positive, puisque R est réel quel que
soit x; alors, il est visible que la valeur a; = a rend R minimum. On obtiendra les points les plus rapprochés du diamètre, en prenant, sur rordoiiiiée qui correspond à x = a, à partir du dinmcire, Ins longueurs ]M = !M' = minimum de R.
yGoosle
La courbe (jui rô[iOLul h ce soeoiiii ciis s'n[)i)cllc lujjHU-bole; Me i-sl cnracldrisiie par la i-chilion : IS^ — AC > 0.
Eï. ». Que TO|>]i;aerilc[i[ les ctiuatioiis
(1 ) %' ^ 8ïy + Sx» -(- iy - a- + S = 0,
&) ï' - 2j;ï + fv - 2ar + 3 ^ (!,
(3) y=-23!in-2tf — iœ — 2 = 0?
Uïs liypofboles : files duiiiieiit I(= — AC > 0. Le diamêlri: de lii iii'i'iiilèie i-sl y^=x — -, et les points 01» elle rencontre celle droile ont pour iilicisses œ!=:— . I,
a'^ i ; la seconde équation représente les Jen» droites y:^ — 1, y :='ic — 3 qui se conpeiit sur le diainèlre y = 3!—- 2; enfin, l'Iiypcrbole de l'éfioation (3| ne rencontre pas lu dininèlre donni! par y:=x — 1 ; dans cet exemple, R piîut se mi'ttre sous la forme R = l/(ji -i- 1)' + 2, et, pour x = — \, on a R = (/2 qui est sa voleur
Ex. %. Que représente l'équalioii gciiémlc (1), lorsque i'iin dfs coeflieiciils A et C est dgnl à îéro ?
Supposons A:=0, ou a l'éqii.itiou
2B3;y 4- C^' H- W'j + 2E-Ï + F = 0, qui, rés()Iue pr.r rnppoi't à ?/, devient
Cj° -h 2Eic + F '^~ 2(Bf-4-D) ■
après flvoil' effectué la division .iiitant ipic possibli', la valeur de y sera de l.j forme
(II) ^ = -jj, (D) y=m.^r,.
Si a;^= — — t l'ordonnée 1/ >[*: la liouilx'. i'St infinie, et quand x varie depuis — -
jusqu'à -t-o3, elle diminue d'ubord et se rapproche ensuite de l'ordonnée delà droite D en la surpassant toujours; enfin, pour x = io, ia fraction du seeond membre de (a) est nulle. On a ainsi une branche de courbe située dans l'angle des droites D et H et qui s'étend vers l'inliui en se rapprochant de plus en ]>las de ces droites. Il existe une deuxième branche iuliuie située dans l'angle oppose, et qui correspond aux \aieursde at
comprises entre — — et — ». L'cquatiou proposée représente donc une hyperbole; ou
a effectivement B= — AC = B' > O- £k. s. Indiquer la posilion de la courbe de l'équalion 2i]xy -t- 2Dj + 2Ej^ ^ I' = 0.
On a ; A = C = et l'exemple [ii'éwdenl, ( opposds des ilroiEes
