UD ~ AE

rDrcloniiée y de l;i coiii-he avira [loni-

y = mx + ^±-v/â(!!l)-AK){.r-x').

Soit OP' = a^'; le point A' du diamètre nppnrtient à la courlie : ear, X, le i-atlical disparaît. De plus, In seconde racine irbe rencontre le diamètre en un second point ii I rinfini. Si BD — AE > 0, toute valeur de a; plus grande que x' rend le radical réel, et tous les points du lieu se trouvent dans la région du plan située à droite de la parallèle X — a;' = ; tout point pris k gaucho a une abcLsse plus petite que x' et ne peut appar- I tenir au Heu de l'équation, puisque l'ordonnée correspondante est imaginaire, La courbe part du point A' et s'étenil à l'iafini dans le sens des x positifs. Lorsque BD — AE < 0, l'ordonnée y est réelle pour loules les valeurs de X comprises entre x' et — co ; on a, dans celte hypothèse, une branche infinie, comme celle de la ligtirc, seulement elle est dirigée en sens opposé, vers les x négatifs.

Enfin si BD — AE =0, l'équation représente deux lignes droites parallèles, réelles ou imaginaires; car In relation (5) se réduit à

La enurbe du second ordre parabole ; elle se compose d'i

jr laquelle B- — AC = 0, s'appelle îcule branche înQaie dont les deux

lu diamètre.

rapproclier à rîiifiiii poi

Ex. 1, Que rcpi'dsoiilcnt les fqiiatioiis

(1] 1/5 — iïv + 4b= -H 2(/ — 6a — 2 = 0,

(3) if -'iicy -i- X' + ^-/ — Zx + 2^0?

Dp3 pnrabolc.s ; B' — AC ^0. La première a pour (liamètre j/ = 2x^ l, cl ri; ne

cette droite au point qui a pour obéisse a; =z — - ; la seeonde louelie l'axe des ij et s'i

à l'infini vers les a négatifs; la troisième est une parabol?. qui se rtduït sux deux di y-ic 4-1=0, !/-3;h-2 = 0.

Ex. 9. Indiquer la position de la parabole qui a ponr équation Cx' -H 2Dij ■*- iEx -i- F = 0.

Si on résoud l'équaLton par rapport à ^, on a

Cx'

où x' et s" sont les raeines de l'équalîon CiB* -l- 2E* M- F = 0.

Lorsque les racines sont réelles et inégales, la parabole rencon points; 9i elles sont égales, la courbe est tangente à cet axe; qnan

140. Il résulte de celte discussion, en y comprennnt les exemples relalil's à certains cas particuliers, que l'équation générale du second degré ne représente que trois espèces de. courbes: des ellipses, des hyperboles et des paraboles, suivant que le binôme caractérlslique B* — AC est une quantité négative, positive ou nulle. Le genre ellipse comprend les courbes fermées, et, comme cas particuliers, le cercle, le point; le genre hyperbole renferme les courbes à deux branches infinies séparées par un certain intervalle, et, comme variétés, deux droites qui se coupent; le genre parabole comprend les courbes formées d'une branche infinie, qui se distingue d'une branche d'hyperbole, en ce que les deux parties tendent à se rencontrer à rinfîni, tandis que dans l'hyperbole elles sont de plus en plus divergentes; la parabole peut se réduire, dans certains cas, à deux droites parallèles. Enfin, lorsque B^ — AC <^0, il arrive quelquefois que l'équation n'a aucune solulion réelle et qu'elle représenle une ellipse imaginaire; si B^ ~ AC = 0, elle peut ne donner que deux droites imaginaires.

141. Lcsirois courbes du sctioml ordre s'oblienneiit en coupant un cône droit h base uircuJaîre par un plan. Soit 00' une ligne fixe, et III une droite indéfinie qui tourne autour de la première en passant toujours par un point fisc S, et en conservant la même inclinaison « sur 00'. La surface engendrée par la droite mobile est celle d'nn cône droit à biise circulaire dont 00' cit l'axe, et S le sommet ; clic se compose de deux parties semblables situées de cbiiqiie côlé du point S.

Menons, par un point quelconque A de la droile SI, un plan pcrpendi- I eulaire au plan de la figure qui ven- I ferme les arêtes SI cl SI'; il coupe la surface du cône suivant une certaine courbe AMlt, et le plan ISl' suivant la droite AB, Cberchons l'équa- I lion de la section en prenant pour 1 d- X la ligne AB, et, pour axe ; y, la perpendiculaire à ectte I droite élevée au point A. Soit M un •^'S. s3. point quelconque de la courbe; le

plan passant par ce point et mené perpendiculairement à 00' eoupc la surface conique suivant un cercle IMI', et le plan sécant suivant une droite MP perpendiculaire à AB. Les coordonnées du point M sont : x = AP, !/ = MP. Dans le cercle IMI', on a

(Jt) MP^ = PI-Pr.

Désignons par d la distance AS, et par [3 l'angle SAB ou l'iuelinaison du plan sécant sur l'arètc SI. Le triangle AIP donne PI sinIAP ^sinp AP "sinAIP cosa'

Si on mène PR parallèle à l'arête SB, on a ; mais AU = 2rfsiiiK, et dans le triangle AUP,

PI' = ItK = AK — RA ;

sin APfl " sin ARP

yGoosle

En substituant les vaJcurs {/} el (m) ilans la rclnlion (k), on obtient pour l'cqualion de la courbe d'intersection

„ 2rfsinasinf3 sin Ôsïn (S -i- 2a) „

■' eos a cos^ «

on bien

î/^ coh' X + x^ sin p sin (p + 2a:) — 2rfx sin a cos a sin (3 =^ 0. Cette éqnationest du second degré en x el y; en la comparant à l'éi] unlion f^énéralc, on a

A^cos^H, lî = 0, C = sin[3sin(iQ + 2«), et

B^ — AC = — eos' a sin |3 sin {[i ■+■ 2k).

Le binôme caraeién'slique B* — AC est néiratif, positif on nul selon les

sin (p + 2a) > on (3 -+- 2« < 180",

sin (,e + 2«) < ou [i -t- 2a > 180",

sin (13 -H 2a) = ou (3 + 2» = lbU\

Si on remarque que (3 -+- 2k est le snppkment du lioiiirme angle du

triangle SAB, les points A et B, dans le preniur cns, sont d'un même

eôtë de S; dans le second, il se trouve de pnt et d \utre du sommet ;

enfin, dans le dernier, AB est parallèle à l'tréte SB

Donc, la section est une ellipse, si le plan sécant rencontre toutes les arêtes d'une même nappe du cône, une ki/perbole s'il coupe les deux nappes, et une parabole s'il est parallèle à une arèle du cône.

Ces trois courbes ont été appelées par les anciens sections coniques; c'est ainsi qu'cllcsse sont présentées à eux et qu'elles sont devenues l'objet de leurs spéculations.

1 J2. Si on divise l'équation générale du second degré (1) A7= + 2iixy -t- Cx^ + 2Di/ + 21îit; h- F = par l'un des coefficients A, B, C..., elle ne renferme plus que cinq paramètres arbitraires. Une courbe du second ordre est déterminée, si on

eonnak les valoiirs de ces paramctpes ou si elle est nssujcUie à salisfairc h cinq conditions géomdlpiqucs donnant Jieu à cinq relations distinetes . entre ces quantités : car ce nombre de relations suffit, en général, pour calculer les valeurs des cinq paramètres inconnus. Ainsi, en admettant qu'une condition géométrique équivaut Ji une équation entre les coefficients, on peut dire qu'une courbe du second ordre est en général déterminée par cinq conditions.

Supposons que les conditions géométriques consistent k assujettir la conique à passer par des points ou à être tangente à des droites données. Chaque Tois que la courbe doit passer par un point donné [x', y'), on a une rel.ilioii de la forme

A'j'^ -i- 213-r'!/' -f- Cx'^ + 2Dy' + 2Er' -t- V = 0.

Pour exprimer que la courbe doit être tangente à une droite (d) y==mx->-b,

on élimine d'aboi'd une variable, par exemple ?/, entre les équations {d) et (1); lin trouve ainsi une équation du second degré en a: de la forme

Pic^ -1- 2Qx -+ R = 0, où P, Q, R sont des fonctions des coefficients A, R, C,,., et dont les racines sont les abcisses des points d'intersection de la droite [d] aiec la courbe. Mais, pour une tangente, les deux points d'interscclion se confondent et l'équation précédente doit avoir des racines égales; un obtient ainsi la condition

Q^— PR = 0, qui est une relation entre les coefficients de l'équation (1).

Lorsque les cinq relations entre les paramètres correspondant aux conditions géométriques données admettent un seul système de valeurs iinies pour les inconnues, il existe une conique et une seule, propre à satisfaire à ces conditions, quand ces relations sont incompatibles, il n'est pas possible de trouver une couibedu second ordre qui puisse satisfaire à ces mêmes conditions géométriques. Enfin, si le nombre des conditions données est inférieur à emq, i! y a toujours au moins un paramètre qui veste indéterminé, et, par suite, il existe une înfinilc de coniques qui répondent à tes conditions. Cependant, pour la parabole, on a B' — AC = 0, et il suffit en général de quatre conditions pour déterminer cette courbe.

143. Trouver l'équation des coniques qui passent par deux points donnés.

Supposons d'abord que l'on prenne, pour axe des x, la droite qui joint les points donnés. Une conique quelconque est représeiilcc pnr l'équalion

kif -H 2Ba;.y •+- Ca:^ -t- SDy + 2Ea; -t- F = 0.

Pour obtenir les abcisses des points où clic rencontre l'axe des x, il faut poser )/ = 0, et résoudre l'équation

Cï= -4- 2Ex + F = 0.

Soient «et a' les distances à rorigincdes points donnés; d'après hi question, il faut remplacer le trinôme Cx^ -f- 2Ex -i- F para;' — {a -\- a')x + aa' , on poser G = 1, 2E = — (a -+• a'), F =aa'. L'équatiou cherchée sera A/ -1- ■m>:\j -\-x^ -\- 2Di/ ~{a-^a')x -^ aa' = 0. De même l'ëquadon

y^ -t- 2Ba;v -+- Cx^ — {b-^l/)>j + 2\i,x -+- hl/ ^ représente toutes les coniques qui passent par deux points de l'axe des y dont les ordonnées sont 6 et 6',

Enfin, si les points donnés ne se trouvent pas sur les axes, une conique quelconque qui renferme les points {xi, i/,), (j's, !/s) a une équation (te la

'iiy—yù{y—y^)-*-H'x-'^>){x—x^)-i-''{x—x,){y—iji)+[x—x^){y—if,)^0; car le premier membre est du second degré, et l'équation est satisfailc lorsqu'on remplace les variables x el y par les coordonnées des points donnés.

Les équations précédentes renferment encore trois coefficients indéterminés, et il en doit être ainsi, puisqu'on peut assujettir les coniques qu'elles représentent à trois conditions nouvelles.

144. Ti-oiiver l'équation générale des coniques qui passent par quatre points donnés.

Comme une droite no peut reneonlrcr une conique en plus de deux points, nous supposerons que trois des points donnés ne se trouvent pas sur une même droite. Cela étant, prenons, pour axes des coordonnées, deux droites renfermant chacune deux de ces points. Si a et a' senties

abtissfs (Ira points sir.ués sur l'iuc des x, h et b' les ordonmics <les points siluds sur l'iixc des y, l'cquation d'une conique qui salisfiiil nnx couditions énoncdcs devra se i-éduire k

x'' — ia-}-a')x + aa' = 0,

i/ — {b -\-b') ij -\- hb' ^ 0,

pour y = et r = 0; elle sera donc tic la forme

flrt'y* H- l^xy -t- hb'x^ — na' (6 + b')]) — bb' (a -H a') a; -h aa'bb' = 0.

Il suffi! d'une nouvelle condition pour déterminer le seul paramètre

arbitraire A qui se trouve dans l'équation. Si la conique qui passe par les

quatre points est une parabole, on doit avoir y? — aa'66' = 0; d'où

J = r^\/au'bb' . Il existe donc deux paraboles qui satisfont à la question.

Lorsque a = ti', b =- 6', l'équation précédente devient

a'// -+■ âJjy -t- />*j' — 2ba^y — 'iab^x -t- a^b" = : elle représente alors toutes les coniques en nombre infini tangentes aux axes, les points de contact étant situés aux distances a et 6 de l'origine.

145. Par cinq points donnés dont U'Ots ne sont pas en ligne droite, on peut faire passer une courbe du second ordre et une seule.

En effet, avec le même système d'yxcs que dnns le numéro précédent, la conique qui renferme quatre de ees points a une équation de la forme a«'f/^ -h 2^t/ +- bb'x^ — aa' [b ■i-b')y — 66' (a + a')x -i- aa'bb' == 0.

Soient x,, yi les coordonnées du cinquième point non situé sur les axes; on auru, pour déterminer le paramétre 1, la relation

aa'yi'^ -t-2Xj:,î/i -t- 66'a;i^ — a«'(6-t- b')y, — bb' {a + a') Xt -t- aa'bb' ^=0,

qui donne une valeur finie et déiorminéo pour X, et, par conséquent, il existe toujours une conique et une seule qui renferme les points donnés.

De même, on peut toujours mener une conique tangente à deux droites en deux points donnes et passant par un autre point (a;i, !/t)du plan; car, dans ce cas, le paramètre î. est déterminé par la relation

n*)/,^ -1- ^ix,y, -f t'xi* — 26a=t/i — 2ab^Xi -4- a^6* =^ (I.

Il résulte du ihéoi'ème précédent que deux coniques ne peuvent avoir cinq points communs sans se confondre, et six points, pris au linsiird

dans un [tiaii, n'a[i)>aflicnni!nt pas en général ù une m<;iiic coiiilic diT second oi'dffi, à moins que lenrs coordonnées ne snlisfassent à une certaine équation que nous allons déterminer. Soient (Xi, i/t) {Xî, yî],..> (;rc, J/g)i six points donnes; s'ils se trouvent sur 1r conique représentée par l'éqnalion

A;/^ -H 2IÎXI/ -t- Cic- + 2Dy -i- âRx -t- F = 0, on doit avoir les six relations

A»/,' -h 2R,y, + C,r,^ + 2Dï/, + 21i,r, + l' ==0,

Ay3^^ "0,

Af/s' -H ----O,

Ces équations divisées par F, renferment cinq inconnues qui sonl les

rapports— ) -j -, t; et — ; Iclimination de ces inconnues conddira

à une relation entre les coordonnées x,, iji, Xj... ; ce sera la relation qui doit être satisfaite par les points donnés pour qu'ils se trouvent sur une même conique.

Et, i. Clierclier l'équation d'une conique qui intercepte sur Ii'S axes les longueurs 1 et 2, 2 et— 1.

R, y' -H %xy — œ' — y -t- 3œ — £ = 0.

Es, a. Quelle est l'équalion de la conique qui passe pfir les points (1,0), (2,0), (0,2), (0,-1), (1,-1)?

Ex, a. Trouver l'équalion d'une parabole qui passe par les points (1,0], (2, 0|, (0,2), (0.5).

H. ï' i; 2 Kâic!; -t- Sa^i Sj, - 93! -H 6 = 0. Ex, 4. iSuvirc l'équation de la eoniijue qui louche les axes auï points (2,0), (0, l|.

H. iy* + t^xy -i- it= — 8y — 4ï -H i = 0. E\. S. Trouver l'équalion d'une conique tangente à la droite 2j; — 2y = I , el qui (ouelie les axes aux points (1, 0), (0, — !)■

H. j/' ■¥ 2iCj( -4- x'-ij;-^ ■i'J ^- I = 0.

Une conique tangente à la droite y — mx — 6 ^ i cm' pour obtenir Im eoordnimep des points d'intersection de cette droite avec la eoiirbe, il faut résoudre les equiitions

Comme elles sont du priiuiier degré, on n'aura qu'un et !/, et la droite y — inx — 6 = doit être tangente à la sentée par l'équation donnée.

§ 2. CENTRE, DHJIÈTniîS Eï A\ES DKS COCRBKS

146. Le centre d'une ligne est un point fixe par rapport auquel tnns les points de celle ligne sont placés syméiriquement detix Ji deux, de sorte qne les cordes, qui passent par ce point, y sont divisées en deux parties égales.

Pour trouver les équations qui déterminent le centre d'une conique, nous aurons besoin des deux Icmmes qui suivent.

Lehue I. Lorsque l'origine est au centre d'une courbe du second ordre, C équation de celle -ei ne renferme pas les tei-mes du premier degré en x et y. En effet, soit l'origine des coordonnées, cl le centre d'une conique i-eprésentée par l'équation

Af -t- 2Bx!/ -I- Ca-3 + 2D// h- 2lia; -h !■ = 0.

iinle quelconque qui rencontre ja courbe en M et M'; MP et M'P' étant les ordonnées de ces points, les triangles OMP et OM'P' sont égaux, et, par eonséqucni, les points M et M' ont des coordonnées égales et de signes contraires. Si l'équation est satisfaite par les coordonnées -t- a;, -\- y du point M, elle le sera aussi par les coordonnées — a:, — y du point M':

rcmicr degré ne se trouvent pas dans emliru reste iiiVHriuJjle, si on clinngc

Lehme II. Si dans te pol'jnùme

f (x, y) = A%f H- 2Br!/ -+- Cx^ + 2Dy -v- 2E.ï -t- F, oî! remptaci! x et y par a -t- a:', |3 -+- (/', on obtient %-n',p + >,')-A!,-+2Bi-,'-i-Ci»+5T,(»,|3) + «'r..(t.,3)H-f(<.,|3); c'est-à-dire qna les eoefjicienls des termes du second degré ne changent pas; ceux des termes du premier degré sont les valeurs des dérivées partielles, par rapport à y et à x du polynôme primitif, pour a; = «, y = [3; et le terme constant est le résultai de la stibstiliilion des mêmes tialeurs de x et de y dans le polynôme proposé.

En effet, l'expression A^^-^-y'f-^-^B{^-^-y')icc-+■x')^C{a-^-x')^-i-20{^+y')-^^^V:(a-^x')-+-F élnnt développée, peul s'écnre

{/;) Ay'^ -t- 2B<!/' ^ Cx'= + 2(A[3 -t- !tî! h- D) y' ■+ 2 (B;? + Ca -+- E)x' -H A|3^ + 2Ga|3 + C«^ -h 2D,6 -4- 21i« -i- F.

La dérivée partielle de la fonclion proposée, prise par rapport h x, est le polynôme formé en multipliant chaque terme pjir l'exposant de x dans ee terme, et en diminuant ensuite cet exposant d'une unité; nous la représenterons par f'i{ic, y). D'après celle règle, on aura

f',(3;,y)=2By + 2Ca;-i-2E=2(By + Ca; -v- E).

La dérivée partielle, par rapport à y, se forme en effectuant les mêmes opérations sur cette variable; on aura

f'ï {^- y) = 2Ay + 2B3: -î- 2D = 2 (Ay -i- tix ^- D).

Il est visible que, dans la relation {k), les eoeffieients des termes du premier degré et le terme constant sont les valeurs des fonctions fj {x, y), i\ (x, y}, !{x, y] pour a: =. a, y = |3.

1 €7, Les coord'innées du centred' une conique représentée par l'équation (I ) Ay= -4- 2Ba;y -h Cx^- -f- 2Dy -i- 2Ea; -i- F = sont les tmleurs de x et de y qui annulent les dérivées partielles du premier memhre, prises par rapport à x et à y.

Soient o: et (3 les coordonnées inconnues du centre; supposons qu'on y transporte l'origine sans changer la direction des ases primitifs. L'équation

de In conique, pour les nouveaux axes, s'obtient en posanl : x = a -t- x', !/ = p + y', et, en vertu du lemme TT, on aura

Ay'^ -t- 2Bx'ij' -t- Cx'^ H- y' r,(a, (3) -t- x' r,(a, (3) -t- f{a, [3) = 0.

Or, l'origine étant au centre, les termes en x' et ?/' doivent disparaître de l'cquaiion, et, par suite,

c'esl-à-(iire qne les coordonnées do centre sont les valeurs de a: et de y qui satisfont aux équations

on bien,

Ay -t-W.-t-D=0, Vf/ ■+Cx-^E-=Ù.

148. En résolvant ces équations, on trouve pour a et j3 AE — BH „ CD — HE