ABC A' B' C P Q R

167. Trouver l'équation de la tangente à ht c,om(jue ((X,'B,Cj'=0 au j>oi>il {A', B', C).

L'équation d'une corde qui ,juint deux points (A', B', C), (A", B", C") de la courbe est de la forme

= lA.^ -t- mB^ H- nC* + 2^80 + 2»i'CA + 2«'AB ;

car, après la multiplication et la suppression des ternies communs aux deux membres, elle s'abaisse au premier degré; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des deux poinis, eu égard aux relations

(a') (A'^ -1- niB'^ -t- nC'^ + 2/'B'G' + 2m'C'A' + 2«'A'B' = 0, (a") /A'" -*- niB"^ ■+■ hC" + 9i'B"C" -t- 2m'G"A" -t- 2h'A"B" = 0.

Supposons que le point (A", B", G") vienne se confondre avec le point (A', B', G'); la sécante devient tangente à la conique et son équation est alors

; (A — \J -^ m (B — B')'' + H (C — C'f + 2m'(C - C) (A ~ A') -4- 2«'(A — A') (B - B' -»- 2ni'CA -4- 2rt'An.

En développant et faisant usage de la relation (a'), lYqualîon de la langenlc an point (A', B', G') est de la forme lAA' + mBB' -t-«CC' + i'(CB'-i- BG') + jm'(AC' + CA') + h'(AB' -i- BA')=0,

i-2;'(IS — B')(C — C)

= /A5-+-Hil!5+«C^-i-2i'BC

yGoosle

ou bien, en groupant les termes qui [itulliplient A, B, C, A r. (A', B', C) -H B f'3 -f- C f'c = 0.

1C8. Trouver l'équation de la corde des contacts des tangentes issues <îupoint{\',B',C'}à laconique f (A, B,C) = 0.

Soient (A,, Bi, Ci), (Aa, Bs, Ca) les points de cùnliici de ces tangentes; l'une d'elle a pour équation

/AA,+ mBBn-HCC, + i'(B<;i + CB,)-t-™'{AC,+ CA0-+-»'(AB, + BA,)=-O; mais elle passe par le point (A', B', C), et, par suite, on doit avoir (A'Ai-i-mB'Bi^-HC'Ci-4-;'(B'Ci-+-G'BO+m'(A'C,-i-C'AO-t-w'(A'B,-i-B'A,)=0: relation qui exprime aussi que le point (Ai, B], Ci) se trouve sur la droite représentée par

(P) ;AA'-+-mBB'+nCC'+r(BC'-i-CB')-i-)K'{AC'+CA')-i-«'(AB'-t-BA')=0. On verrait de même que le seeond point de eontact (A», Bi, Cs) se trouve sur la mémo droite. L'équation (P) est donc celle de la corde des contacts ou de la, polaire du point (A', B', C'}j eife peut se mettre sous la forme

1«9. Trouver les tangentes menées d'un point extérieur (A', B', C) à la conique f [A, B, C) = 0.

Les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint (A', B', C) à un autre point {A", B", C") sont données par les formules

I, en posant- = ?.,

).li"

Pour les points d'inferscction de la droite avec la conique, satisfont à l'équation f {A, B, C) = 0; en substituant, on troui (AJ S'V -h P"). -h & = 0,

yGoosle

— 2H flans laquoilfi

S" = r(A",B",C"),P"=A'T.(A',B',C') + iî"f'„-t-C"r„S'=f(A',îi',C'). Si la droite des points (A', B', G'), (A", B", G") est tangente à la conique, l'équiition (k) doit avoir des racines égales, et. par suite, P"' — 4S'S" = 0.

En remplaçant A", B", C" par A, B, G, on iuira, pour les tangentes, menées du point (A', B', C') à la conique,

Lorsque le point (A", B", C") est pris sur la polaire du point{A', B', G'), P" =0, et l'équation {k) a des racines égales et de signes contraires; on retrouve ainsi cette propriété de la polaire, de diviser harmoniquement toute sécante issne du pâle et rencontrant la courbe en deux points.

130. Trouver l'équaiion des tangentes aux points où ta droite Î.A -+- pB + ïC = rencontre la conique ï (A, B, C) = 0; en déduire celle des asyniploles.

Désignons par^A', B', G' les coordonnées du pôle de la droite donnée; les tangentes eherelices doivent se couper en ce point; par suite, l'équation, qui les définit, s'obtiendra en déterminant ces coordonnées pour les substituer dans l'cquation du numéro précédent. Identifions l'équation de la polaire avec celle de la droiie donnée. On aura r. (A', B', €')!'.

d'où on

tire