CHAPITRE VU

COURBES DU SECOND ORDRE (suitl).

Ëination générale in second âegré eu coorâonnées triangnlaires et tangontielles.

Shmmiibe. — Délermirtalion du genre de la courbe mprcsenlée par téqitation dit second degré eti coordonnées triangulaires. Centre, diamètre, tangente, pôle et polaire dam Ici courbes du second ordre, — Formes de l'équation d'une conique rapportée à un triangle circonscrit, inscril el conjugué ; à un quadrilatère inscrit el ci

$ i. ÉQUATIONS US COOHDONNÉES TltlANGULAIIIE^, DU CEKTBE, DU DIAMÈTRE DE LA TANGENTE ET DE LA POLAIRE DANS LES COURBES DU SECOND ORDRE.

■ 63. L'équation généraîe du second degvé en coordonuùcs triiingu- Inires est de forme (1) l'(A,B, C) = iA^ + iKB*-v- hC= ^ 2/'BC -»- Sm'CA -H 2h'AB = 0.

Comme les lettres A, B, C représentent des fonctions du premier degré en X et y, J'cquation (1) est aussi du second degic par ta] pott a ces der nières variables et représente une sectjon coi ique elle renferme cinq paramètres arbitraires, dont on peut disposu p»ur faire concider la courbe de l'équation (1) avec une section conique quelconque

Afin de déterminer l'espèce de couibc lepiesenlei. par une équation de la forme (1), cherchons les p ints du lieu 'iitués \ 1 infini Nous savons que la droite de l'équation

(D) hA -+- 6li -1- cC -=

est située dans le pîjui à î'infini; éliminons € entre (D) et (1); on trouvera

c"{(A^ -+- mB^ -1- 2«'Ali)— 2c («A + 6B} (/'B -t- m'A) m- «(aA -t- fcK)^=0,

ou bien,

((c^ + Ha^ — 2m'Bc)A'-i-2(«V — /'ac— m'6c+na6)Ali-i.(mc*'*-H6^ — 2i'6c}B'==0.

Cette équation représente deux droites issues du point de référence y, et passant par les points d'intersection de la conique avec la droite à l'infini ; elle donne deux droites réelles et différentes, deux droites (jui coïncident ou deux droites imaginaires, suivant que

(n'c^ — l'ac. — m'bc -t- nahY^[k^ ■+■ «a= — 2m'ae) (me' 4- «6^ -t- 2l'bc).

Dans le premier cas, l'équation représente une hyperbole, dans le deuxième une parabole, et dans le troisième une ellipse.

Ifi4. lYouvei- les équatiojis du centre de la conique représentée par f(A, B, C) = 0.

Soient A,, B,, Ci les coordonnées inconnues du centre; les équations d'une droite qui passe par ce point sont de ia forme

On en tire : A = Ai + J,p, B = B| -v up, C = Ci + vp; en substituant ces valeurs dans l'équation de In conique, il vient

/(A, + ).p)^ + ra(B, -.- p.p)^ -f- h(C. -1- vp)' ^-2i'{!ii-i-['p)(C,+vp)-4-2m'(C,-f-vp)(A.+?,p)+2H'(A,+îp)(B,+^up)=0.

Développons le premier membre, et représentons par f',{A, B, C), f'B(A, B, C), f',(A, B, C), les dérivées partielles r(A, B, C), prises par rapport à A, B, C; l'équation précédente peut se mettre sous la forme («) p' f(^, p., v) + p[U'.(A„ B„ C) + f. f, + V f'„] -t- f (A,, B,, C) = ;

elle donne les valeurs de p pour les points d'intersection de la droite et de la courbe; comme le centre est au milieu de la corde, les racines doivent Être égales et de signes contraires, et, par suite, on doit avoir

If. (Ai,B,,C,) + (i.(', -+- vf, =

- 207 ^ quelle que soil lu direction de la corde, e'esl-à-dire, peur lo' do l, (X et y qui sniisfont à la relaîion (K° !i9) al ^ b^j-H- cv -= 0. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que l'on ait les égalités f',(A..B,. C) Fd Ce

En désignani par 2fc la valeur eomnitine de ces ra|)porls, et e

tuant aux dérivées leurs valeurs, on obtiendra les coordonnées du par la résoJulion des équations suivantes ;

IX, -t- îi'B, -+■ !»'C, — Im = 0, n'A, ■+■ mB, -v- l'C, — kb = 0, m'A, + l'Bi -+- îif:,— /rc=0, aA, -t- &Bi -+- c€, -t- 2S = 0.

subsiicentre

"abréger, posons

aV^bii + dW K'

Le centre sera à l'infini, el, par conséquent, reprëseiitcra une parabale, si K -= 0.

lOA. Trouver la (onf/'ieur d'un dîaiiiHre.

Si on mène par le centre (A], Bi, Ci) uue droite, l'équation {a) ne renferme plus la première puissance de p, et elle donne f(A,,B,,C,)

c'est le earré du demi-diamèti'e de direetion {l, {x, v). On pent exprimer

le numérateur en fonction de H et de K. En effet, d'après les équations

du centre et une propriélc des fonctions homogènes, on aura les rcI;ilions

2t(Ai, B„Ci) = A, f» -i-B,r> -(-C,fc = 2ft(Aia-+-B,6-t-Cif;)

viendra

et, en remplaça

nt A- par s

pa.' suite,

^ K-f(l, u,v) 1 66. Chercher l'équation du diamètre qui divise en deux parties égales tes cordes parallèles à une direction (k, ji, v).

Menons une droite de direetion (1, (x, v) qni rencontre la coniqnc en deux points IVI et M'. Soit I (A', B', C) le milieu de la corde MM' ; ccHc-ci sera représenlée par les équatinns

Substituons, dans l'équalion de la conique, au\ coordonnées A, B, C les valeurs A' -i- Ip, B' -h ,up, C -t- vp tirées de ces équations ; on aura, poulies points M et M',

p' r(A, fi, v) + p P> (\ {A', B', C) + iii'„^v f'„] + f (A', B', C'} = 0.

Cette équation doit avoir des racines égales et de signes contraires, puisque le point (A' B' C), à partir duquel se compte la dislnnce p, se trouve au milieu de la corde, et, par conséquent

La corde MM' étant quelconque, les coordonnées (lu milieu de toiile corde de même direction satisfont à l'équation

/ f. (A, B, C) -H pr. r„ {A, B, C) + V f. (A, B. C) ^ 0, qui sera celle du diamètre ; elle est du premier degré en A, B, C cl repré-

sente une droite qui passe par le r.ciitrc : car, pi>iir ce point, les valeurs des dérivées étant proportionnelles à a, b, c, on a

al + 6;^ -1- cw = :

reialion qui est satisfaite par les quantités 1, w et v.

Les coordonnées du centre étant proportionnelles à P, Q, R, Téquation d'un diamètre qui passe par un point (A', lî', C) de la conique peut aussi s'écrire