ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ EN COORDONNÉES

lît. Lorsque les eoordonnées u cl v d'une droite ux + vy ■*- [ ^^ 0, qui se meut dans un plan, sntisfont à une équîition du second degré de la forme

(1) f(M, u) = «»>' + 2&«u-i- eu' -1- 2rfw -t- 2e(' + /■= 0, l'enveloppe de la droite mobile est une section conique. En effet, éliminons i; entre les deux équations; on trouvera {ay^ — ^bxy -i- cx^)h^'+- ^{cx — hy -+- dy^ — exy]u -h c — ^ey -+- fy^^=0 pour cliaqtie point du pian (s, y), cette équntion donne deux valeurs

pour u, et, par suile, il y a deux tangentes à la courbe enveloppe qui aboutissent ea ce point; mais, si ce dernierappartientà la courbe, les deux tangeiires coïncident et l'équation doit avoir des racines égales ; oh a donc la condition

{ex — by -\- df — exyf = {aif —Ibxy ^ cx^) (c — %:y -+■ f}f) . En développant, on obtient, pour l'équation de la courbe enveloppe en X G\y, (2} {d^—af)y^ + ^{hf—de)xy-^-{fi^ — cf)x^-i-'i{aR—bd)y-i-'i[ed—he)x

elle est du second degré et représente une section conique.

Réciproquement, si la droite «j; -)- vy -t- i = se meut en restant tangente à la section conique

(3) \y^ + 'iQxy ■+ Cx^ -h 2Di/ -*- 2Ea: h- F = 0, les coordonnées m et v satisfont à une relation du second degré de la forme (1). Pour le démonlrer, éliminons y entre (5) et l'équation de la droite ; il vient (Alt*— 2B»tî-i-Ci;*)i''-f-2(AM—Bii-D((u-t-Eu=)a:-t-A — 2Dv-t-Fu'=0.

Lorsqu'on attribue à m et nies valeurs u,, in, l'équation précédente donne les abcisses des points de rencontre de la courbe avec la droite UiX -«- ^(1/ •+• 1 ^= ; mais, si celle droite est tangcnie à la conique, on doit avoir pour x des racines égales; et les paramètres m et v satisfont à la relation

(Ai( — Bt) -Dwu-t- Eu-')= = (Aw^~2Bi(i; + Cu^) (A — 2Di> -t- Fu^), ou bien, après les réductions,

(4) (D^ — AF) II" -4- 2 (BF — DE) «m + (E^ — CF) v^ + ^1 (AE — lîD) m + 2 (CD — BE) V -+- B^ — AC = 0.

Cette équation est du second degré et de la forme (1). Ces différentes équations nous montrent comment on passe, de l'équation d'une conique en coordonnées tangentielles m et y, à son équation en coordonnées car lésion nés, et réciproquement. Il est ulile de remarquer qu'avec l'équation entre les coordonnées u et v, on délermine le centre de la conique, en égalant à aéro les trois derniers termes, après avoir divise par 2 les coefiicienis de » et de v; car on a l'équation

(AE — BD) « •*- (CD — BË) t! -t- B= — AC =

AE — lîD

qui représente un point dont les coordonnées sont ^==t:^ r^ '