B^— -AG
1 79. Trouver l'équation du point de contact d'une langetite (m', v') à la conique ( (m, u) = 0.
Soient {;(', v'), (u", v") les eoordonniies de deux tangentes ; l'équation de leur point d'intersection peut s'écrire
= au^ -V- -2buv ■+- CD* -r- %tu ■+■ ^ev -+- f;
car, après (a suppression des termes communs, elle est du premier degré
en M et «; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des deux droites,
eu égard aux équations
au'^ -+- 'ibu'v' ■+■ cv'^ ■+■ 2di/ -^- 2er' + /■= 0, «m"^-v- %u"v" -i- cv"^ -I- 2rfii" + 2cu" + /' = 0.
Lorsque les tangentes se confondent, leur point d'intersection coïncide avec le point de contact, et ce dernier sera représenté par
= Mw' -(- %uv + cv'' ■+■ 2du -^ 2ei; + f ou bien, en simplifiant, (5) auu' + b [uv' + .:«•) + cW + d (u + u') -^e{v+p')^ f^ 0.
133. Chercher V équation du pôle d'une droite (u', v') relativement à la conique f (w, ") =0.
Représentons par Ui,v, et «s, v, les coordonnées des tangentes à la conique, aux points où elle est rencontrée pnr la droite donnée; le point de contact de la première a pour équation
auui H- 6 {nvi ■*- vui) -t- cvvi + d(it -i- Ui) + e(v ■+- Vi) -h ^=0; comme ce point se trouve sur la droite donnée, on a la relation
au'uf ■+■ b {u'vt -t- v'ui) -t- co'vi ■+■ d (h' -i- u,) -t- e (v' -h v,) -h f= qui exprime aussi que la droite (w,, v,) passe par le point représenté par (6) ami' ■+■ b{uv' ■+■ vu') -+- cvv" -}- d(u + u'] -t- e (u -t- v') ■+- /"= 0.
On verrait également que la droite («s, Vs) passe par ce même point; donc l'équation (6) est celle de leur point d'i nier section ou du pôle de la droite donnée (u' «').
Ponr la droite à l'infini, on a m' ^ 0, ii' = 0, et le pôle de celle droite, e'csi-à-dire le centre de la conique aura pour équation
rfw 4- eu -+- /"= ; ce qui confirme la règle donnée précédemmenf.
t ?4. Délermiiier l'eapéce de la conique définie par l'équaiion
Afin de résoudre cette question, nous allons chercher les points de la courbe situés k l'infini. On sait qu'un point à l'infini a une équation de la forme M 4- mu = 0. Pour qu'il appartienne à la conique, il faut et U suffit que les Irangentes qui passent par ce point coïncident, c'est-à-dire que l'équation obtenue en éliminant «ait des racines égales. Or, cette équation est
i;«{ain« — 26m + c) = 2u(dm — e) + /'^O; par suite, la condition énoncée sera esprimée par
{dm — ey — f{am' — 26ni + o) = 0, ou bien,
((/! af) m' — 2m {de ~ hf) + e^ ~ c/ = 0.
Les valeurs de m données par cette équation correspondent aux points à l'infini de la courbe; elles sont réelles, égales ou imaginaires suivant que
{de-bff-{f-cf){d^-af)'^(i,
/"(ae^ 4- cti^ 4- fb^ — Mf— 2We) ^0.
Donc, en supposant /"poiitif et en de-ignant par D la quantité entre crochets, la conique sei i une ellipie, une pirabole ou «ne hyperbole, suivant que D -ien plus petit tgal ou plus giand qne zéro; car, dans le premier cas les points a 1 infini sont imigniaires, dans le second ils coïncident, e! dms le troHiemc ils sont lécK
Eï. 1. Trouver l'ériuation des coniques tangentes auï axes des coordonnées.
Si dans l'équatiun
qm' + 2buv ■+■ eu' -(- 2du + 2eti -I- /■ = 0, on fait u=;0, il vient nu' -f-2ifM -l- /=;0. Cette équation donut; les tangentes [larallèles i l'axe des y ; car ut et «2 étant les racines, les tangentes correspondantes sont u,eH- 1 = 0, Vgx + 1 :=0. Comme la conique doit toucher l'axe des y, l'équation précédenle ne doit avoir qu'une racine Unie, etn =U. On venait de même que c = 0, si la courbe touche l'axe des ■». L'équation cherchée est de ia forme ■ibilv -H 2rf« + 2eu -+- y = 0.
Ex a. Trouver l'équation générale des coniques tangentes à deux droites données
Elx. S. Equation des coniques inscrites dans le quadrilatère AA'BB'.
Prenons pour axes les côtés AA'.BB' et soient OA = u, OA' = o', OB = !/, OB' = 6'; les équations des cotés du quadrilatère sont
La conique étant tangente aux axes, son équation est forme („ „,) {V «,) + ). {u - »,) (« - y,) = 0,
"i, wi, "s, l'a sont les coordonnées des autres cfilés
du quadrilatère ; ello ne renferme pas les termes en u' et
en D*, et elle est satisfaite pour « ^ «, et u := t)i, « = iia
etu = uj. Si OD remplace ces coordonnées par leurs
des coniques inscrites au quadrilatère,
\b' bj \a a' J al/ a'b
La courbe serait complètement définie avec une nouvelle condition. Ex. 4. Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite qui passe pur les milieux des diagonales. (Newton.)
Le centre d'une conique représentée par (A) est le [Joint de l'équation
I nfinîlé de points situés sur es ol vaut les équations
réqHation de la droite des MDlres en œ et i/ est
^{b~b')x + 2(a — n') W -t- a'b' — ab = 0.
I! est facile de vérifier qu'elle passe par les milieus dos trois diagonales du (juadri-
Eï. S. Trouver la condition pour que l'équation générale représente deu\ points.
R. (Irf — ne)' = (6' — noj (d^ — af).
Es, o. LÎBU des pôles d'une droite fixe par rapport aux coniques inscrites dans un
Le pôle d'uiit droite lixe («', u'j par rapport à une conique [h] a pour liquiitioii
i tause de 1» présence de i, elle représente une iiilùiitc de points situés suf l,i droite dont les coordonnées satisfont aux équations
f Î5, L'équation géncpale dti setond degré {7) f (A, B, C) = (A' -t- mW + mC^ m- 2('BG -i- 2m'CA + 2n'AB = 0,
où A, B, C sonl les coordonnées tangentielles d'une droite mobile, e'est-àdire les distances de cette droite k trois points fixes
(«) U = 0, (|3) V = 0, {7) W = 0, représente une section conique; car, si on substitue à A, B, <] les expres-
U V W sions éiiuivalentes, /— r r' /— ^ -' /—: -' elle est du
second degré en m el u ; comme elle renferme cinq paramètres arbitaires, la courbe enveloppe peut être une section conique quelconque.
Afin de déterminer l'équation du centre de la conique (7), désignons par A', B', G' les coordonnées tangentielles d'un diamètre quelconque de lu courbe, et par A la dislance du centre aux tangentes parallèles à eetle
droite. Les coordonnées A' -+- h, B' -+- h, C -t- A de l'une de ces langenlcs doivent satisfaire à l'iiqualion; on a donc l (A'+ A)'^- ™{B'-f- hY-^ n(C'-i-tiY-\- 2i' {C'+ h) (B'+ h)-+- 2m' (C'+ /()
(A' + fi) -I- 2(i' (A' -+- h.) (W -^ h) = 0, ou bien
f(A^B',CV/'[^(A^B^C')-^-f„-HfJ + /t'(/+TO^-«^-2('^-2m'-4-2«')=0.
Cette équation doit avoir dos racines égales et de signe différent, puisque les tangentes parallèles sont à égale distance du centre, et les coordonnées (A', B', C) d'un diamètre quelconque satisfont à la relation
f. (A, B, C) -+- f'B -f- f'c = 0, qui sera l'équation du centre de la conique repi'ésentcc par l'équation (7).
Par la métliodc employée précédemment, on trouverait facilement, pour l'équation du point de contact d'une tangente (A', B', C) à la conique (7),
(AA'-t- wiBB'-^- nCC'-i- 1' (CB'-t- BC')-«. m'(AC'-i- CA')-t-»'(AB'-t- BA')=0 ; c'est aussi l'équation du pôle, lorsque la droite {A', B', C) occupe une posilion quelconque dans le pian de la conique.
§ 3. ÉQUATIONS d'une CONIQUE CmCO^SCRITE, INSCRITE ET CONJUGUÉE A UN TRIANGLE, CIRCONSCflITE ET INSCRITE A UN QUADRILATÈRE.
1T6. Trouver l'équation d'une courbe du second ordre rapportée à un triangle inscrit.
Si le sommet a du triangle de référence appartient à la conique, l'équation
/A^ ■+■ «iB= -+■ nC^ -t- 2/'BC -*- 2m'CK ■+■ 2m'AB =0 doit être satisfaite en posant ; B = 0, C = 0, et, par suite, / ^^ 0, Si les points [3 et y appartiennent aussi îi la courbe, l'équation devant être satisfaitepour C = û et A = 0, A = et B=0, il faut que l'on ait; m=n=0. L'équation d'une conique circonscrite au triangle de référence ne peut contenir que les rectangles des coordonnées, et elle est de la forme
(i) pBC-t-qCA^ )'AB = 0;
elle renferme encore deux paramètres indéterminés ; il en doit être ainsi, puisqu'on peut assujettir la courbe à satisfaire à deux autres conditions.
173", L'équation (1) peut s'i?crire
p\iC -H A(5C-i-î-R) = 0.
Les points où la droite qC -t- /-B = renconlre la courbe doivent se trouver sur les côtés li et C du triangle inscrit; mais, comme elle passe par le point d'intersection de ces côtés, elle doit rencontrer la conique en deux points qui coïncident avec le sommet a. Ainsi, l'équation
oC-4-rlî = 0, ou --H?=0, r <i '
représente la tangente au point œ. De même,
seront les tangentes à la conique aux sommets [3 cl y du tnani^le de référence. D'ailleurs elles se déduisent de l'équation
A iqÇ.' -V- rB') + B {pC a- rA') + C (pB' -4- qk') = 0, qui représente la tangente à la conique {!) au point (A',B', C) : si ce dernier coïncide avec le point a, B' = 0, C =0, et l'égalité se réduit à rB + qC = 0. On retrouverait les deux autres tangentes, en faisant coïncider le point (A', B', C) avec les sommets p el y. Bemarqite. L'équation (1) peut se mettre sous la forme
En supposant que A, B, C soient des polynômes du premier degré en se et )/ qui, égalés à 7,éro, définissent les côtés d'un triangle, il existera une relation de la forme (!'} entre ces fonctions pour tout triangle inscrit dans la conique. Cette propriété est vraie pour un polygone de n côtés inscrit dans une courbe du second ordre. Soit, en effet, un quadrilatère dont les côtés sont : A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. Menons une diagonale K; la conique sera à la fois circonscrite aux deux triangles ABK et CDK; par suite, elle sera définie par deux équations de la forme
ABK ' CDK
en ajoutant membre à membre, il viendra
Du quadi-ilalère on passcru de la même manière au peiHiigonc, k l'hexagone, de; on en conclut que la relalion soi-a vraie |iour un polygone d'un nombre quelconque de côtés.
138. Cherchur Véijitulion d'une conique inucrite au triangle de réfé-
Quand on pose A = dans l'(A, G, C) = 0, il vient l'équation homogène
entre les coordonnées B et C ; elle reprcsenlc deux lignes droites issues du sommet a et passant par les points d'intersection du côté A avec la conique. Or, si ce côté est tangent à la courbe, ces droites doivent coïncider, el il Tant que l'^^mn. En exprimant que les côtés B et G touchent la conique, on trouverait également m'^ = In, n'^ = Im. Posons l = p, m = g*, n = h^ : il viendra l' =^ ± gk, m' = ± /*/■, w' = ± /(/, et l'équation de la conique inscrite au triangle sera (2) f^A^ -+- fB^ + hK^ ± %ABC. ± 2A/CA ± 2/gAIÎ = 0. Cetle équation peut aussi s'écrire
(5) [//Â-t~[/^-+-iAc={),
car, après avoir l'ait disparaître les radicaux, on retrouve la première,
1 19. Trouver l'équation d'une courbe du second ordre rapportée à un triangk conjugué.
Un triangle est dit conjugué a une conique, lorsque chaque côté est la polaire du sommet opposé par rapport à la courbe.
La polaire d'un point (A', B', C) relativement à la conique f(A,U,C)^=0 étant représentée par l'équation
iAA'H- uiBB'^ nCC'H- /'{BC'-v- CB') -h m'{AC' -t CA') -+- «'(AB' + BA')=0, elle se réduit à
lAA' + m'CA' -+- «'BÂ' = 0, ou lA ■+■ iw'C ^ n'R = 0, pour le sommet « où B'=0, C'=0. Si le côté .4 est la polaire du point a, il faut que l'on ait m' = n' = 0. En faisant coïncider le point (A', B', C) avec le sommet f3, on trouvera aussi (' = 0, puisque le côté B est la polaire du point |3. L'équation de la conique conjuguée au triangle de
référence ne rcnfci'me donc que les tarrés des coordoniiccs, et elles est de b forme
(4) lA^ -+- mB^ -i-kC^-=.-0.
Deux conditions nouvelles suffisent pour déterminer la conique. Pour que l'équation (4) représente une courbe réelle, il faut au moins que !'un des coeffieienls ^, mou n soit négatif. Supposons que n soit affecKî du signe — ; on aura
(A" -t- mB^ ^nC.^^0 ou l^A.'' -+- u=B^ — v^C= = 0, en posHiil: i = X^, m=fA^, w = v^. II en résulte que les points où le côté A = rencontre la conique se trouvent sur les droites j/lt -+• vC =i 0, [àB — - yC = 0; ceiles-cî sont les tangentes menées du point a à la courbe ; car chacune d'elles coupe la conique en deux points coïncidents sur Je côté A du triangle. De même, lA — vC =0, >A -i- vC = représentent les tangentes à la conique issues du point p et ayaul pour corde des contacts le côté B. Les tangentes menées du point y sont imaginaires, et elles ont pour équation /M* + p*8* = 0. Ainsi, quand une conique est conjuguée à un triangle, il y a toujours un des côtés qui ne rencontre pas la courbe, cap on peut appliquer une décomposition analogue à ia précédente, si deux coefficients sont négatifs.
180. Trouver l'équation d'une conique cireonscnted un quadrilatère. Soient A = et C = 0, B = et D = (A -t- HtB H- «G = 0, les équations des côtés opposés du qusdrilatcre. L'équation demandée sera
(8) AC -H km = 0,
car elle est satisfaite en posant :
A = OctB = 0, A = OetD = 0; C = OetB=.0, G = OelD = 0; elle passe donc par les points d'intersection de ces droites ou les sommets du quadrilatère. Comme elle renferme un paramètre variable, elle représente une conique quelconque circonscrite au polygone ABCD = 0.
Dans le cas particulier où deux côtés opposés B et D se confondent, la conique est tangenle aux côtés A et C, et elle a pour équation
AC — /cB^ = 0, B = étant la corde des contacts ou la polaire du point de concours des droites A cl C.
Remarque. Considérons un quadrilatère 1234 inscrit dans une conique, !t rapportons la courbe au trianË;le qui a pour sommet les points de
concours des côtés opposés et le point d'intersection des diagonales. En ciLOU de la polaire d'un point, ce triangle est conjugué à une conique quelconque circonscrite au quadrilatère. Cela étant, soient (14) ;A — MB=:Oet (ôt)U— nC=0, les équations des côlés 14,54; celles des deux autres côtés seront (2ô) ;A + mI! = 0, (12) ;A+hC = 0,
el l'équation d'une conique circonscrite au quadrilatère prendra la forme
{;a + ikB) {iA — mB) + fc (/A + nC) (/A — nC) = 0,
ou bien,
(1 -V- k) i^A' — ™'B^ — kn'C^ = 0.
C'est l'équation générale des coniques circonscrites au quadrilatère el rapportées au triangle conjugué commun.
ISl. Si, dans l'équation
pRC -+- çGA -+- rAB = 0,
A, li et C sont les coordonnées tangenlielles d'une droite mobile, la conique qu'elle représente est inscrite au triangle des points de référence
car elle est satisfaile en posant
B = OetC-=0, C = OûtA = 0, A = Oetl{ = 0;
les côtes f3y, ya. et a|3 sont tangents à la courbe.
On vérifiera facilement que les équations en coordonnées langcnlielles
pA.^ -*- g'B^ H- hX^ ± ^gliBC ± 2ft/CA ± 2/9AB = 0,
AC -t- km = 0,
représentent, la première une conique rapportée h un triangle inscrit, la seconde à un triangle conjugué, la ti'oisième à un quadrilatère circonscrit.
182. Si on prenait, pour (igurc de référence, un quadrilatèi'e dont les côtés sont représentés par A = 0, B =^ 0, C = 0, D ==0, l'équation générale du second degré serait alors
XA=+fiB^-i-yC=-+-7rD^-+-2MIÎ -t- âmAC -h 2«AD + '2pBC -i- 2^BD + 2)-CD=0. Elle représenterait encore une section conique; car, en rapportant le lieu au triangle AHC ^0, le quatrième côté n aurait une équation de la forme ijA -t- )»iB + wX = 0; de sorte qu'en remplaçant D par le polynôme /|A -*- niiB -i- «iG = 0, on aurait une équation du second degré entre les coordonnées triangulaires A, B, C, qui définit toujours u e ou b du e 1 ord e Ma il faut remarquer que l'équation p ee de e e fe ne pi s de c nq paramètres arbitraires; par conséquc u e con [ e q el onque pe t être représentée d'une infinité de n e e pa ne q a on du eeond degré entre les coordonnées \ B C U II e é le \ ce le c rconstauce se présentera encore, si le poljgone fondamental est un pentagone, un hexagone, etc. ; on pourra toujours y introduire les coordonnées triangulaires, en prenant, pour triangle de référence, celui qui est formé par trois côtés quelconques du polygone.
