II. La directrice
Ex. a. Lien du point d'iiitersectiiHi diMa [](M'))eiidti:uluire uli^iis^i'.' il<i (^l'iili'i' Ï1II k liinseiite uvee Je raymi vecicur du po:i)l de coula,:!,
li. Un cei-ele.
■i-JO. Soit Hi le locHicicnt (ingnlnirc d'tinc toidc MM'; le ilûimèlrc ''cniis|Mj]nliiii[, |n)iir J'iiyiJci'Linio r.-ipporltîc iu\x )i\cs, esi l't'jii'ésfnlé |)iu'
Slonuns [lar !■■ ci-iilru la droilii Eli' (jni-nllèlù ù ll.\l'; en sur., lu .liatiicU-c conjugué du iiPcmitM", cl lu fclalion précéJcnli; «x|H'ifne ([iie, ilims l'iiypenbdle, le iirodiiit dos cocllicients (injjiiJiiii-cs de deux dinmèin.s coiijtt^iit-s (Jsl. conslatil ot posilif: il en rt'stiite que ces diuinètj'cs suiit lonjum-s d'un même <;dlé de l'axe imniçinaiiT. Lorstiiie («' iiiigmcule depuis zéiu
jusqu'à la V
la ifunnliK; m diminue en reslaiil plus grande ([ui
'augle IJOK des diamètres devieul de plus eu plus petit. Enlla , h , h
yGoosle
SoiciU {s', 2/'), (x"j ly") ks jioiiits où Its diamèiL'cs coiij\ trcnl riiy[)(!rbole; l'équation du diamcti'e EE' peut s'écrire
HiiiU, coniniL- il doit reiifej'inei' le point x", ij", on a la rcl.
Il y a donc toujours un des deux diamètres qui ne ruiiooutix (lai In Murbe. Prenons suc le diamèlre EE' une longueur OE, telle ([ue les
eDordonnées de l'estrémité E soieiil -r-. — : on regarde Olî eiuniiir b a
étant la longueiit- du denii-diamèlre imaginaire.
•iîl. La différence dus carrés de deuj- diainèlres conjugués esl <:iiimluiKi! el égale à la différence des carrés des axi'S.
Posons (6' = 0D, 6' = 0E; il vient, en \ertu du iinmérn |ii'éeiideiU,
a4î. L'aire dii parullélugraïuine ctiiislnnl. sur ilcux diuiit jagtiés est égala au rectangle des axes.
En effet, OP étant In perpeiKlicii Ihi l'o abaissée i en D, et tp l'angle des diaincti'es conjugués, on !\ OP 1 ab
par suite,
((^ = «'f.'.sino; ce qni démontre la proposition,
323. Hyperbole rapporlée à deux diamètres conjugués. Prenons, pour axes des eoordonaées, les deux diamètres DD' et EE'; l'équation de rhyberbole sera de la forme
Nx^ — My^^U, ear, pour chaque valeur attribuée à l'une des variables a; et i/, on doit trouvcf pour l'autre des valeurs égales et de signes eoniraires. Posons
"'-\/ïf' ''-\/r
Un en lire X>=— 7^, '^I = 7r^' ^^ l'équation de la courbe devient
2a' est la longueur du diamètre qui rencontre la eourbe, et 26' est celle du diamètre imaginaire. Cette équation est de la même forme que l'équation de l'hyperbole rapportée aux axes; il en sera de même pour les équations de la tangente, de la normale, du diamètre avec ces nouveaux axes; m et m' étant les coeHicients angulaires de deux diamètres conjugués, on aura aussi la relation mm''^^ — , etc.
3S4. Cordes supplémentaires. On peut satisl'airc ii l'équation do l'hyperbole
en posant
équations qui, repi'ése nient deux droites issues des extrémités du dinmètpe 2a', ei qui se coupent sur la courbe, c'est-à-dire deux eordes su|iplémentaires. Soient jj. et fi' leurs eoefiicients angulaires, on a
Aiusi, les diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires sont conjugués.
L'angle de deux eordes suppiéracntaircs est égal à celui de deux diamètres conjugués, ot peut prendre une valeur quelconque entre zéro et un angle droit. En effet, considérons, pour plus de facilité, deux cordes supplémentaires menées par les extrémités de l'axe transverse; elles sont représentées par les équations
en désignant par rp l'angîe de ces droites, on trouvera
tang (p = — r r-— ■
Lorsque y augmente depuis jusqu'à oo , l'angle tp diminue depuis DO" jusqu'à 0, Il en résulte qu'étant donné un angle aigu quelconque, il est toujours possible, par la construction indiquée pour l'ellipse, de trouver deux diamètres conjugués qui font entre eux l'angle donné.
ÏÎ5, Deux diamètres conjugués délerniinenl, surnne tangente fixe à l'hyperbole, deux segments dont le produit est constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle d la tangente.
On le démontrerait de la même manière que pour l'ellipse N" 206, en changeant dans la suite des équations 6" en— ^ (»", La construction indiquée pour déterminer la direction des axes de l'ellipso s'applique également à l'hyperbole.
