ASYMPTOTES
386, Nous avons vu (N" 208) que l'hyperbole rapportée à ses axes a pour asymptotes les droites représentées par les équations b b
•iii sont les diagonales du rcelaiigic des axes.
— ^i66 — De même, si h couebe n pour eiiualiori
où a' et b' sont <)eux demi-diamétiTs conjugués, les asymploles seront aussi les diagonales du panillélogrammc construit sur 2a', 2(i' et dont les équations sont
En effet, désignons par Y l'ordonnée de la première droite pour la distinguer de l'ordonnée de la courbe; on trouve facilement
Or, si X augmente indéfiniment, la différence Y — t/ diminue de plus en plus, et elle s'évanouit lorsque x est infini : donc la droite est asymptote à la courbe. On verrait semblablement que la seconde droite jouit de la même propriété,
227. La perpendiculuire abuissée du fui/er sur l'asymptote est égale à b; la distance comptée parallèlement à l'asymptote d'un point de ta courbe à la directrice est égale au rayon vecteur de ce point.
Soit DL la directrice correspondante au foyer F d'une brandie d'hyper- I bole, La perpendiculaire abaissée du point (c, 0) r la droite
y =— X, ou ug — b.r =^
(OUI- expression
Soi! M un point de la courbe; mctinns, j ce point, une parallèle à l'asymptote; la droite MR élant pcrpendicula il la directi'icc, on a
Ml- <-
yGoosle
; MR = Ml^ cos 0, 5 étant l'yiigle de l'iisymiUolc n
MF a a ^^. + ft.
(l'uù
Culte dernière propriclé pcrmei de déurire l'hyperbole d'un mouvement eoiuiciu. On prend une rèjçle telle que £PK dont la parlic EP est couchée sur DL cl la partie PK pantllèle à l'usymptote; on attache au point K et nu foyer F les exlréœilés d'un fil d'une longueur égale à KP; en faisant glisser la pointe d'un crayon le long de la règle, tandis que celle-ci glisse sur la directrice, on décrira une partie d'hyperbole : car, dans une position ijuelconqne M dn crayon, on a toujours MF^^ MP.
«ÏS. Lespurties d'une sécante comprise entre rhi/pcihnle et tesaapnptules sont égales.
Menons une sécante iiuelcouquc MM' (/(</. 7;i), et rii]ipurlouà deux diamètres conjuj^ucsdoull'uu OU passe ■ par le milieu de MM'. L'hyperbole aura i éiiualioii de la forme
de sorte ([u'ahstraetion l'aile dn signe, IN pari et d'autre les longueurs égales IM, IM',
l-ji iiM]i[)(isau( i[iie la siieanle devieunc tajigciUo à la courbe, on a cette pro|)riélé : que le point de contact divise en cleiix partv'S égales lu portion de lu lamjenle comprise entre les asymplules.
SÎ9. Le rectangle des segments (Vnne sécante compris entre un point lie lu courbe et les asymptotes rst ronshint et égal au carré itti ilemidianétne parallèle à la sécante.
— 2G8 ■ lin efl'iit, on il, (l'api'ès In ligiirc,
MN = IN ~ I M = -; a; — - j/x' — «'= = - (x — /a;'' el IN' étunl cgnl à IN, on a aussi
MN' = JN-+-MI = -ic + ~/a;*— (("=-(3:-i- [/ie-— a'-).
D'où on lire, par la inulliplicalion,
MN . MiN' = b'^ ; ce qui démonlrfi la proposition.
930. Ces différentes propriétés permettent de construire l'hyperbole lor.squ'on connaît les asymptotes et un point de la courbe. On lire, par le point M donné, une sécante quelconque qui rencontre les asymptotes en H et H'; on prend N'M' = NM; le point M' appartient k l'Iiyperboie. Cette construction répétée sur différentes sécantes menées par le point M donnera autant de points que l'on voudra de la courbe.
Les mêmes données suffisent pour déterminer les longueurs de deux diamètres conjngués, lorsqu'on connaît la direction de l'un de ces diamètres. Soit EE' la direction d'un diamètre ; menons par le point M «ne sécante parallèle à EE'; la longueur du demi-diamètre OE sera la moyenne proportionnelle entre MN et MN'. Ce diamètre étant ainsi déterminé, on tire par le point E une parallèle EF au second diamètre qui est connu en direction, puisqu'il doit passer par le milieu de NN' ; la droite menée par le point F, parallèlement à OE déterminera la longueur OD du second diamcttc.
Enfin, connaissant deus diamètres conjugués, on peut déterminer les axes; car on sait que les asymptotes sont les diaftonales du parallélogramme construit sur les diamètres; de plus, on a un point de la courbe. Les axes sont dirigés suivant les bissectrices des angles des asymptotes et leurs longueurs s'obtiennent par le procédé qu'on vient d'indiquer.
331. Trouver l'équation de l'hyperbole rappariée à ses asymploteft. Comme l'origine des axes est au centre de l'hyperbole, l'équation de cette courbe est de la forme
Aj/^ -t- 2lîa,-y + Ci^ = Il.
L'asc ans X loiielio la ooiirbfi ;'i l'infini ; il on resuite quo pnnn t/ = 0, l'éqnalion doit donner pourx une valeur infinie, el, par suite, le cocffîeient C doit être nul. Il en sera de même du coclïicient A, puisque l'axe des y esl tangent h la courbe à l'infini. L'êqualion de l'hyperbole, pour ce système d'ascs, se réduit h
2toy=n, ou ^!/-=2Ï3'
Le second membre est nécessairement posilif; car les coordonnées sont toujours de même signe. Posons k^ '=^5 l'éininiion de l'hyperbole rapportée à ses asymiitotes prendra la forme xy = k\
La quantité A^ s'exprime faeilement en foneiion des axes de la courbe. Considérons {/ig. 73) le sommet A de l'Iiyperbole situé supla bisseciricc des asymptotes; pour ce point, ona y =a; = AP. Mais, si on élève en A une perpendiculaire à OA, et si on la prolonge jusqu'à sa rencontre en Bavec l'asymptote ON, on a évidemment
Ainsi i! vie
nt, pour
les coordonnées du sommet, l/a. * i-
En subslitu
ant dans
l'équation, ou trouve ,, a^ + b^
Théorèmes et exercices snr l'hyperbole.
Ex. I. Ti'ouvor l'équation de la tangente !i l'iijpc.bole i Celfc tqiiûtînn peut se nifiltrc sous la forme
Es. S. Des parallèles menées d'un point de l'hyperbole smx asyiinilotcs foiii lïcc ces droites un para II élug ranime dont l'aire est ec
La courlis ctaiit va|i]invtM hus lisymptotcs, I il ire fxprcssiuii xy siii 2^, 20 ctiiii[ l'aiiftlu des asjmploles ;
On cil dédii
Ex. 3. Lii!U lies points de eonlacl des laiigcules bolts ayuiit pour asymptotes deux droites lixfs. La tangente au point (ai' , y') de l'hyperboie xy =
C'est réi|uotion d'une liyperlioie.
Ex. 4. Le reetangle roiisliuit sur la normale et h pei-pi^iiJiciil^ire aboissee du centre sui' h tiingcnte est coiislaut et égnl è li'.
SIéme démon s t l'a t Ion que pour l'ellipse (Ex, i],
Ex. A. La différence des caries des projections de deux diamètres conjugues sur un axe est eonstanle.
Eu ofTet {x-, •/), [x". y") étant les extrémités de ees diiiraètres, ou u
Ex. V. Trouier la coudition pour ijue l'équation
ky' -V 20^1/ + C*' -H 2Di/ -H SfEr -v F = représente un hyperbole équilatère.
Les asymptotes de l'hyperbole ropreiîcntéo par l'équation sont parallèles unx droites Aj'-l-SBœy-i- Ci''=:0. Si 00 exprime que ces dernières sont perpendiculaires, on trouve pour la condition demandée A + C;=0 avec des axes rectangulaires, et A + C = 2B oos 9 pour des axes oblique».
Ex. 7. Le point de concours des hauteurs d'un triangle inscrit ù l'Iiyperbolc équilatère est sur celte combe.
Soit AA'B le triangle inscrit; abaissons du sommet B une perpendiculaire sur A.V, prenons cette droite pour asc des y et AA' pour axe des œ. L'équation
aa'y' -+- T/xy ■+■ i&'a;' — aa' (b -i- 6') jr — bb' (o -\-a')x + aa'bb' = représente une conique qui passe par les commets du triangle en supposant que a et n'
soionl les abcisses des poiiils A et A', l'I b Votdunnée du [loiiit L. La quaiilitc 6' est l'ordonnée du second point d'intersection de la courbe avec l'axe des </. Maïs, pour
l'hyperbole ëquilatère, aa' =: — 66' j d'où b' ^= — - Il est facile de vêrilier que le
ppéciîéraent le point de concours des hauteurs du triangle AA'B.
u des centres des hyperboles équilatères qui passent par trnispoîtils donnes. C'est un eerele qui a pour équation
26 {x^ -t- y') - (6* -aa']y-b{a-t-a-)T = 0, 011 o, a' el 6 ont la même signification quo dans l'exemple précèdent.
Es. O. Le cercle circonscrit à un triangle conjugué k l'hyperbole équilatére passe par le centre de la courbe.
Soient P„ P,, Pa, les sommets du triangle; prenons P,P, pour me des a: et P,Pî pour axe des y. Si on exprime quo lu polaire du point Fj coïncide avec l'axe des x, ■t celle du point Pj avec l'axe des y, on trouïc pour les coordonnées des points Pj et Ps,
Le cercle qui passe par les si
B (ïî -H j,ï ^ 2^y ces 0) -t- l)ï -+- Ey = ;
A-t-C ou (lien, en remplaçant eos par --^jj- '
B (!"' + y'J -f- *!/ ( A -i- C) + Dœ + Ey = 0.
Cette équation peut s 'écrire
ar (Ba^ + A;/ + D] 4- !/ (% -t- C^ + E) = 0.
G( an suit que les coordonnées du centre annulent les polynâmes des parontlièses.
Ex. lO. Le cercle circonscrit au triangle Tormé par les diagonales d'un quadrilatère inscrit it l'hyperholc éqnilatère passe par le centre de la courbe.
Ce triangle est conjugué à l'hyperbole, el, en vertu de l'exemple précédent, le cercle circonscrit renferme le centre.
Ex. 1t. Lieu des points tels que la différence des carrés de leurs distances à deux droites fixes est conslunte et égale à m'. Avec les droites fixes pour axes, on trouve riiyporbolo cquilatÈre
Ex. ■ a. Lieu des centres des cercles tangents extérieurement à deux cercles donnes. Soient Ct, Cs, r,, r, les centres et les rayons de deux cercles fixes; C et i- le centre ut le rayon du cercle qui touche extérieurement les deux autres. On a
€C, = r + ^„ CCi = »--+-r,; il'où
ce, — mis == r, ~ r, = coustan le.
Le
lien il
|[!S centres C est un
e hyperbole qui a p
our foyers
Ci,C, <
>t pour
Eï.
Lieu des sommcis
d'un triangle, cor
moissoiit 1
a buse 2(! et la
dilTérenee
:des
ongles J la base.
Sic
m pince l'origine au mil
ieu de la base, ou t
rouvera, a
vcc des 3
ises réel
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— y^-lr^xy col {-y-
Ex.
Lieu des sommets
du même ti-Iangle,
, qumid r
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igles à
la lias
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(loiibl.
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'iiutre.
Zx'-s' + Bn^:
Es.
