AVERTISSEMENT

Lit Gùoméfrie iuiuiyti(iLie s'est coiisiilérablemerit pei'l'eoiioinicc pr l'emploi lie nouveaux sysiènies de coordonnées, où l'on représente un point pHr ses distances ù trois droites fixes, el où l'oii détermine la position d'une droite c|iii roule sur une eourbe par ses ilistaiiccs H trois points lixes : de Ifi dérivent les coordonnées Irilalères et langeiilielles. Je me suis efforcé, dans ce cours, de faire ressortir les avantages que présentent les nouvelles coordormécs dans les (piestions où l'on doit considérer des points ou des droites à riniini, ut, en général, dans l'élude des propriétés di'suriptives des ligures ou le sysième des coordonnées cariés iei m es ne répond (]ue didicilenient au but que l'on veut atteindre,

Après avoir traité les différents problèmes sur bi ligne di'oîte suivant les coordonnées de Dcscartes, j'ai défini les coordonnées nouvelles pour les appliquer à la solution des mêmes ((uesiions alin d'iiabiiuer les élèves, dés le commencement, uii nouveau mode de représentation du point et de )a droite. De même, dans l'élude An cercle, dans la discussion de l'équation géjiérale du second degré, j'ai fait marcher côte à côte les différents systèmes de coordonnées, el indiqué les équations du cercle et des lignes du second ordre suivant le choix des axes et la position du triangle de référence. Les propriélés spéciales à chacune des courbes du second ordre sont développées sullisamment, si Ton lient compte des nombreux exereiccs cpii les aecompagnciit. De plus, on U'ouvera, dans un cliiipitre

spéoial, an cliwis de propriétés des coniques à dcmonlrer el un ensemble de lieux géométriques à déterminer ; plusieurs de ces questions ont été proposées dans les concours d'admission aux écoles spéciales françaises. J'ai donné peu d'étendue au chapitre consacré à la construction des courbes : loules les questions relatives à la discussion d'une ligne plane trouvent leur place naturelle dans les applicaiioiis géométriques du calcul infinitésimal. Il m'a semblé plus utile d'attirer rallenlion des élèves sur les diverses mélliodes analytiques employées dans la théorie des courbes du second ordre : ils apprécieront d'autant mieux les ressources de chactnie d'elles, et la facilité avec laquelle on en déduit les propriélés nombreuses des sections coniques. Quant aux- courbes d'ordre plus élevé, je me suis borné à indiquer plusieurs théorèmes généraux, en renvoyant à l'excelleiil traité Higlwr plane curves de M. Salmoii.

Parmi les ouvrages que j'ai consultés, je elierai sjiéciaicmenl : Trilinear coontinakit, au elamerUary In-athe de M. Wbitworth; Géométrie de direction de M. P. Serret; A treatise on toute sections par M. Salmon; Principes de la Géométrie analytique, par M. Pain \ in; les travaux de M. Hesse, etc. Guidé par ces ouvrages remarquables, j'ai voulu condenser dans un ordre mélhodique, avec de nombreux exemples hitercalés dans le texte, les principes el les formules indispensables aux jeunes gens qui désirent s'iniiter aux progrès de la nouvelle géométrie analytique.

J. Cahnoï.

NOTIONS PRriLIMlNAIRES.

1. Considérons le système de trois poiiils A, M, B on ligne droite les dislnnfies AM, AB, et MB eomplées à \tariU- des points A et M en nllai

{1} AB=AM + MB.

Cette éi]iiation et toutes celles qui peuvent s'en déilnire telles qiie («) AM = AB — MB, ÂB* = AW' + MÛ* -4- 2AM ■ MB, etc. ont évidemment lieu pour nne po^ili quelconque du point M entre A et B.

Supposons que le point M (2) soit sii nu-delîi du point B : on a, dans ce c; lêmes distances, l'égalilé AB = AM — MB.

ii li; point M (3) est à gauche

entre les i

Enfin,

Les rcla

des disltin

parcourue

évident rii

AB = MB

ons(2) et (3) ne diffèrent de la i-clittion (1) que par le 5ij;i îs MB cl AH, qui, pour la position (2) et (3) du point M, se dans un sens contraire au sens primitif; d'ailleurs, il * ; toutes les équations (a) qui proviennent de la relation {

sci'ont vraies, tl.ini )o ?etorul cl lo troisicmt' cas, |jnr le eliai»gomcnt du signe des mêmes distances; donc, poitr qu'vne relation entre les distances de trois poiiils en ligne droite soit applicable à une position quelconque de ces points, il faut attribuer le siijne + oit le signe — aux distances suivant qu'elles sont purcoiirnes dans un sens ou en sens contraire à partir de ces points.

a. En vcrin de la ràgle |)ré(;(^dcnle, un segment AB esl positif ou néf,'nti(' siiiviint l'esirt^milé ;i parlir de Ifn[iielic il est [larcoiiru, et on a