I.VquulionlDpculdnnes'f^mvo

AM + flli(+ liA=^0.

Nous iillon'; toÎi' i|iie cctlf rel.iliiHi s'cleiid i\ ini niimbi-e ijuolconqtio de points en titane droite. En effol, supposons qu'cllo soit vraie pour n — \ points A, H, C, .... h, M : on Hun»

Ail -+- BC -t- CD -t- ■ ■■ -^I.M -t-MA = 0.

Snît N un noiivenu point; le sysième dos trois points A, M. N donne lien à IV^-aiilc

AM -ï- MN -1- NA -- ;

or, si oi\ njonlo (tes deux éqiialioris iiH'inliro i'i memliri', en renwi'qniint (jiie AM = — MA. il vient

AI! -1- IÎC-+- CI) -t- I- LM + MÎV + NA = I).

Donc, si le llieorènie es{ vrai pour k — 1 points, il l'est iiiissi |ionr n points, et comme il .-i lieu pour le syslèmr de Irois poinis, il nnrfi lieu pour le syslôuie do qualre puinl-i, rlc.

3. Prenons, sur les droites de la fi;{ure, on point fi\c et diisignons pnr a, /), x les distnnees de ce point nuK trois mitres A, H, M, de telle soi'le fjue a = OA, h --= OR, x = OM. On aura AI!=01Î- 0A-=/(— «, AM-=OM-OA = x— .(, MR = OI! — OM-=i — r, et, en suLslilnnnL dnns le relation {!), il vient

yGoosle

Dans le cas d<ï la di'oUe (2) où le poiiii M est aii-ilfl lii dn poiril li, on .1 All = AM — Mit; m:tis AM = x — a, Mli = OM — OB = 3; — 6, ol par coiisiiqucnt, IVqualion ppcicécldiiie Ucvieni

'' " a = X a - {.: - /.), ou bien

LnrsLjiie le |ioiiil M se trouve entre le [iniLil ii\e el le jmiiil. A, on s l'égalité

Alt = — AM -4- MB, et eoHime AM = o — x, Mil = h — j', on a

Ainsi, une ruialion entre les distances des points A, M, It à un ])oinl fixe ne chnngc pns airssi longtemps (|uc l'un d'eux se déplace pour occuper une position quelconque à droite <lu point fuc.

Enfin, supposons {fig. 6) que le |)oini M soit situé à gauche (Ui poim ; les distances AU, AM et Mit sont liées pnf l'équution

Alt = — AM -4- Mit; niaisAM = a: ~\- «, MR = ic m- 6; en siibslituaiit, il vient (2') b~a = — x — a-i-b-^n:.

On voit, par la eomparaison des éqnalions (!') ei (2'), que l'on passr de la première à In seconde en cliangeant ^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Si on suppose que le nombre de ^^BM^HH^^H^IHiH points soit quelconque, on peut énoncer ''^ *■

celte règle : Une relalion entre les dislances d'un système de poîiils d'une droite d un même point fixe de cette droite sera applicable à une position (quelconque de ces points, si on donne le signe -t- aux distances des points situés à droite du point fixe, et le signe — aux dislances des points situés à gauche.

Les distances OA, OM, Oit.... se nomment abaisses des points A, M, B.... par rnpporCau [loint li^e O appelé origine. On doit regarder l'nbeissc

d'un point comnic une grondeur algébrique donl l.i viilcur ab<toluc indique la distance de ce point â l'origine, et dont le signe fait connaître de i[ucl côté le point se trouve par riipport à In même origine.

DES PnOJKCTIO

4. La prujcelion orthogonale d'un point sur une droite est le pied de la ()erpendicu!aire abaissée de ce point sur celte droite.

Soienl b:.b une droite indéfinie, cl AB une droite de longueur donnée; abaissons des extrémités A et B des perpendiculaires sur bih; !a dislance ab comprise entre les pieds de ces perpendiculaires est la projection orlhogonale de la longueur AB sur l'axe.

Cette projection «b varie en grandeur ' et en direction suivant l'inclinaison de la droite AB sur l'axe. Supposons (jue dur du point A pour venir se placer en ABj e : la projection «6 diminue et se réduite à un point pour la position ABj; mais elle est toujours dirigtfe vers la droite par rapport au point a. Si la droite continue de tourner autour du point A , la projection tombe à gauche du «, et, dans In position ABs, elle a pour longueur «fis. Afin de généraliser les formules, nous regarderons la projection d'une droite AB sur un axe comme une grandeur algébrique positive, si, en parcourant la droite de A vers B, la projection est dirigée îi droiie du pointa, cl négative, si elle tombe à gauche du même point,

5. La projecHun orthogonale d'une droite sur un axe est égale en grandeur et en signe au produit de la longuew de. cette droite par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec la partie positive de l'axe.

Considérons la droite AB (fig. c) ; menons par le point A une parallèle à lcBAC = œ. J,c triangle MC donne

icnt Afi = «, ab^p, AC =

= ABc