ABC — M'5C

et cette équation renferme encore onze constantes, de sorte qu'on peut toujours ramener à celte forme toute équation du troisième degré. Mais il est visible que les droites

A = 0. B = 0, C = rencontrent la courbe eu deux points qui coïncident et situés sur la droite .V = i ce sont les tangentes à la courbe aux points où elle est

rencontrée par la droite A'. De pius, ces tangentes reiiconlrcnl la courbe en trois autres points situés sur la droite C = 0.

Itéeiproquement, si, par Irais pointu en ligne droite d'une courbe du troisième degré, onmène des tangentes à cette courbe, (es points de contact de ces tangentes seront trois à trois en ligne droite.

Car, si A = 0, B = 0, C = sont trois de ces tangentes et A' = la droite qui joint les points de contact de deux d'enire elles, la courbe est représentée par une équation de la forme A1!C — kJi'K' = 0.

§ 2. tODBBES 1)11 m'°""' ORDRE.

331 . L'cquation générale du m'*"'' degré en a; et ?/ est de U forme

Ai/™ -^ (Aiin- As) i/"-' ■+- (B.a;* + B^x + Bj) y""^ -+-■■■

+ (R,a;'"-' -+- Ria:"-= +■■■■ + R„) !/-i-S,a:»-i- SïX™-> -4- -■ .S.^-t- S„.+ ,=0,

ou bien,

\y"' -i- A,y"'~'x -i- h,y"''^x^ -i- ■■■■ SiX" -H Ab!/"'~' -t- Bay"'~^a; -i- ■■-■

Celte équation renferme un terme du degré m par rapport à y, deux termes du degré m — 1, trois termes du degré m — 2..,, et m -4--] termes du degré 0. Le nombre des termes du premier membre est donc

,^2 + 3^.,..^„H-(»..l)=<!li--il<"^ï=*,

et, par suite, le nombre de paramétres arbitraires est donné pai {m -t- -1) (m -t- 2) m {m -+- Z)

Il faut donc, en général, un nombre de points égal

déterminer une courbe de l'ordre m.

Remarque, Deux courbes, l'une du degré m et l'autre du dejjré w, ne peuvent pas se rencontrer en plus de mn points; car l'éliminalion d'une

vai'iable enlre les équations qui représentent ces eotirbes conduit k une équation ne veni'ermant [)liis qu'nne variable et dont le diigré est au plus ëgal à mn. Done, si parmi les points qui définissent une courbe de l'ordre m, il y en avait mn -4- 1 situés sur une ligne du degré n, le lieu se composerait de cette courbe de l'ordre n, et d'une autre courbe du dcgi'é m — n ; cai' la ligne du degré h ayant plus de mn points communs avec celle du degré m fait nécessairement partie du lieu défini par les points donnes.

3S2. Toutes les courbes du degré m qui ^wisse^i par 1

points du plan passent par — — points fixes.

En effelj soient

les équations de deux courbes du degré m qui renferment les points donnés, et /t un paramètre variable; l'équation

S — A-S' = est aussi du degré m et représente une courbe quelconque du même degré passant par les points donnés, et par les autres points d'intersection des courbes S et S'. Le nombre total des points d'intersection étant m*, il s'en suit que cbaque courbe passe par

points fixes.

JEn vertu de ce théorème, toutes les courbes du troisième degré qui passent par huit points du \\h\a, passent par un neuvième point fixe; les courbes du quatrième degré qui passent par treize points donnes passent par trois points fixes, et ainsi de suite.

333. Si, parmi les ni' points dHnlersection de deux lignes de l'ordre m, il y en a mn situés sur une courbe de l'ordre n, tes autres points restants au nombre de m {m — n) appartiendront à une courbe de l'ordre (m — n).

Les coordonnées des points d'intersection de deux lignes de l'ordre ni ayant pour équations

yGoosle

s'obtiunncnt en résolvant ces é(ioations par rapport à x et ;/, on bien en combinant i'une d'elles avec i'équalion

qui représente niic conrbc Au même degré passant par tous les points d'intersection des deux premières. Mais, si mn points d'intersection sont siluds sur nne courbe de l'ordre n, ces points pcnvent être déterminés par la combinaison de l'une des équations S ^= 0, S' = avec une équation du degré n; il doit exister nne valeur de k telle que le premier membre de I'équalion [a) se décompose en un produit de deux l'aelenrs N et N', dont i'nn du degré n et l'autre du doij;rc (m — n), et pour laquelle cette équation se réduit à

et, par conséquent, les m {m — n) points d'Interscelion restants se trouvent sur la courbe N' = du degré m — n.

Ainsi, par exemple, lorsque parmi les neul'pointsd'intersectîoii dcdeux courbes du troisième degré, il y en a six sur une conique, les trois autres sont en ligne droite; de même, si parmi les points d'intersection de deux courbes du cjuatrième ordre, il y en a huit sur une conique, les buit points restants appartiennent aussi à une même conique.

Corollaire J. Si tnn poinis d'intersection de deux systèmes de m droites situées dans un plan appartiennent à une courbe de l'ordre n, les autres points d'intersection au Tiombre de m (m — n) sont sur une courbe de tordre m — n.

Corollaire 2. Deux systèmes de m droites étant tracées dans un plan, si, parmi les points d'intersection des droites du premier système avec celles du second, il y en a 2mi sï(ués sur une conique, les m {m — 2) points restants appartiendront à une ligne de l'ordre m — 2.

On arrive à ce corollaire, en posant « =2 dans le théorème général.

Corollaire 3. Un polygone de 2i» côtés étant inscrit dans ujie conique, les m {m — 2) points d'intersection des côtés d'ordre pair avec les côtés non adjacents d'ordre impair sont situés sur une courbe de l'ordre{m — 2).

Car les côtés d'ordre pair et ceux d'ordre impair forment deux systèmes de m droites qui ont 2»t points d'intersection sur une ligne du second ordre; tous les antres points communs doivent se trouver sur une courbe de l'ordre {m — 2).

En posanl m = Z, on retrouve le tliéorème do Pasea! sur l'hexagone inscrit dans une eonique; car les côlés se suivant dans l'ordre 1, 2, 5, 4, 3, C, les poinlsd'interseelion descôtés opposés (4, ■!), (6,3), (2, 3} doivent étfc en ligne droite.

Corollaire 4. iSi, par les m points d'itilersection d'une sècanle quelconque avec une cotirhe du degré m, on mène des tangentes à cette courbe, les m {m — 2) points d'intersection de ces tangentes avec la courbe appartiennent à une même ligne de l'ordre {m — 2).

Car on doit regarder ici la transversale passant par les points de eon- Uicl comme une conique formée de deux droites qui se confondent ; alors le système des m tangentes et la courbe de l'ordre m ont 2m points communs situés sur une conique, et tous les autres doivent se trouver sur une courbe de l'ordre m — 2.

334. Étant dontiées trois courbes de. l'ordre m S, S', S", si oit considère deux courbes Si et Sa dit même ordre, l'une passant par les points d'intersection de S et de S', l'autre par ceux de S avec S", les m* points d'intersection des courbes Si et S* ainsi que les points d'intersection de S' et de S" appartiennent à une même ligne de l'ordre m.

En effet, soit

S = 0, S' =0, S" =0 les éqaatinos des lignes données; les équations

(S,) S — fe'S' = 0, (S,) &-~k"S" = représentent deux lignes de l'ordre m, l'une passant par les points d'intersection de S et de S', l'autre par les points communs à S et à S". Si on retranche les deux dernières équations membre à membre, il vient

é(|itation qui représente une ligne du m'*""^ degré passant par les points d'intersection t!c Si cl Ss, ainsi que par les points d'intersection de S' et de S".

335. L'équation générale du degré m en coordonnées triangulaires peut se mettre sous la forme

A" + A"-' («iB -t- a,C) -1- A"-^ (6,B^ -<- 6,BC + 6,C^) -h A*--* (c,B» + c,WC ■+- c.liC^ -1- aC=J H =0.

yGoosle

Elle renrcrmc aussi — ^^-r '(laramclrcs tirbitraircs. Pour abroger,

nous dérivons simplement F (A, lî, C) = 0.

Cela étant, proposons-nous de Iroiiver l'éqnation de la tangente au point (A', B', C) de la courbe représcnlée par l'équation préecdcnte. Une droite quelconque qui passe par le point (A', li', C) a des équations de la forme

On en lire A = A' -h l.p, It =■ lî' -h ij-o, C = C -+- vp; substituons ces valeurs dans l'éqnalion de la eourbc ; on aura

F (A' + Xp, I!' + !>.p, C -H vp) = ou, en développant suivant la formule deTayior,

(P) F (A'B'C) -4- pp.F/ (A'B'C) + ,rAF„' + vh\'] h = 0,

les termes qui suivent, dans le premier membre, renferment les différentes puissances de p, depuis la seconde jusqu'à la m""'. L'équation précédente donne les valeurs de p qui correspondent aux points d'intersection de la droite avec la courbe ; mais F (A', B', C) = 0, et si la droite menée par le point {A', B', C) est une tangente à la courbe, on doit avoir pour è deux racines nulles; par conséquent, il faut que l'on ait

IF/ (A', B', C) -h fiF^' -t- vFc' = 0.

Si on remplace ï, /., v par les différences A^A', B — B', C — C, il vient

(A — A'} F/ (A', B', C) -+- (iî — B'} F/ -h (C — C) F,' = 0, équation qui sera satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque (A, B, C) de la tangente. Mais, d'après une propriété des fonctions homogènes, on a

A'F.'(A', B'. C'}-)-B'Fb' + C'Fc' = »!F(A', B', C') = 0,

et finalement l'équation de la tangente à la courbe au point (A', B', C) sera

AF/ (A', B', C) -+- BF„' (A', B', C) -t- CF.' (A'. B', C) = 0.

Cherehons, maintenant, la condition pour que la droite menée par

(A', B', C) loucbc In courbe en trois points coïncidents; une telle droite

se nomme tangente d'infleclion. Dans ce cas, l'équation {(i) doit renfermer p' comme facteui", e(, par suite, on aura les conditions F (A', B', C) = 0, ),F,' (A', B', C) + f F„' -H '-F,' = 0, )>5F./'(A',B',C')-i-f^^F„„"-4.i-'F™" + 2\uF.„" -V- 2M\/' + 2fivF„," = 0. Bemplaçons 1.,ix,y par les diiTérences A — A', B — B', C — C, on aura simplement

F(A', B', C') = 0, {•/) AF/ (A', B', C') -1- BF„' -H CFc' = 0,

A^F,/' (A', B', C) H- B'Fbb" -4- C^F^/' ^ 2ABF,," + 2ACF.„" + 2BCF„," =0, d'après les propriétés d'anc fonction homogène. La seconde représente la tangente en (A', B', C) ; ce sera la tangenled'inflexlon; In troisième doit être vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de la droite [y); elle doit définir une conique qui se réduit à deux droites dont l'une est la tangente d'inflexion. Ce qui exige que les coordonnées A', B', C satisfassent à la relation

(£) F„/' Fb»" F„="

1 P„" Fc." Fc=" I Ainsi les points de contact des tangentes d'inflexion ou les points d'inflexion de la courbe doivent vérifier Ji la fois F(A, B, C) = et la relation (s). Si la courbe est de l'ordre jm, l'équation (s) sera du degré 3 (m— 2); il y aura, en général, 5m [m — 2) points d'inflexion.

336. Les points de contact des tangentes à une courbe de l'ordre m jnenées par tm poinl quelconque (A', B', C) du plan appartiennent à une cowhe de l'ordre (m — I),

Par un point donné, on peut en général mener m{m — 1) tangentes h une courbe du degré jw; car une tangente quelconque issue de ce point et ayant pour point de contact {A", B", C") est représentée par

AF/ (A", B", C") + BFb' ■+■ CF„' = et, comme elle passe par le point (A', B', C), on a la relation

qui est du degré (m — 1) par rapport aux coordonnées du point de con-