CHAPITRE XV
COURBES ALGÉBRIQUES, ÉquntionB dn troisième et dn mièma deg^é.
SojCHiiBE. — Equation générale du ti'oisiime diigré en coordonnées cartésiennes el iHangiiiaires. Quelques propriétés des liptes du troisihnt ordi'e. Tliéorémes généraux sur tes lignes du «!'*«< ordre.
i, COURBES DO TROISIÈMIi ORURE.
394. L'ûqualion générale du troisième degré entre les coordonnées x et y peut s'écrire
(1) At/'-t-y^ (AiT+As) ■+■ y (B,9:^-i-BaaT-i-Bî) -h Cia^'+C^a;" ■+ C5a;-i-C»=0, et, entre les coordonnées triangulaires A, B, C,
(2) aA'-i- A' (fliB-4- «aC) + A (6,B^ -t- Ô^BC -h h-X^) -+- r,li' -+- c.li^C + r^BC^
-i- ciC = 0.
Ces équations renferment chacune neuf paramétres arbitraires; il en résnite qu'il faut neuf points ponr déterminer une courbe du troisième degré.
Dans ie cas particulier où quatre de ces points se trouvent sur une ligne droite, la courbe du troisième degré se compose de cette droite et de la conique définie par les autres points ; ear une courbe du traisièmc degré ne pouvant être rencontrée par une droite en plus de trois points, la droite qui renferme les quatre points doit nécessairement Caire partie du
lieu. De même, si, parmi les neuf points qui définissent une eourbe du troisième degi-é, il y en a sept qui appartiennent à une mâmc conique, le lieu se composera de cciie conique et de la droiie qni passe par les deux points restants.
3SS. Trouver l'équation d'une courbe du troisième degré lorsque les sommets du triangle de référence appartiennent à la courbe.
Si les sommets du triangle de référence se trouvent sur la courbe, l'équation (2) doit être satisfaite pour B = et C = 0, G = et A = 0, A = et B = 0, et, par suite, on doit avoir a = 0, ci ^ 0, et d = 0. L'équation (2) se présente donc sous la forme
(5) ABC ■+■ A' {q,-B + r,C) + B» (rfi ■+ p.A) ^- C= (î».A + </,]î) ^ 0, et elle ne renferme plus que six pararactres arbitraires. Il est facile de vérifier que les droites
(/iB-i- )-,C = 0, j-sC + paA = 0,
p;A -h (/îB =
sont les tangentes à la eourbe aux sommets du triangle de référence. En effet, si on élimine B entre (5) et çjB ■+■ nC = 0, on arrive à une équation de la forme C^{™A — nC) = 0; par conséquent, la droite représent<5e par la première des équations précédentes rencontre la courbe en deux points qui coïncident sur la droite C ^= 0; elle est donc tangente à la courbe au sommet (8=^0, C^^O). On prouverait de la même manière que les deux autres droites touchent la courbe aux sommets (A = 0, C = 0), (A = 0, B = 0).
Dans le cas particulier où le sommet (Ii = G = 0) serait un point double, c'est-à-dire un point où viennent se rencontrer deux branches de la eourbe qui ont des tangentes distinctes en ce point, toute droite B = ÏC ne rencontre plus la courbe qu'en un point différent du sommet du triangle; l'élimination de B entre l'équation de ia droite et celle de la eourbe doit mener a une équation de la forme C^ (niA — hC) = 0, et, par conséquent, il faut que l'on ait Çi = 0, /■( = 0. L'équation {3} devient donc
ABC -v B^ (i-ïC + j)sA) 4- C^ (/33A +. (/sli) = 0, et quatre conditions nouvelles suftïscnt pouj- dclcrmincr la couibc.
336. Trouver l'équation de la tangente au point (A', B', C) de la courbe du troisième degré représentée par F (A, B, C) = 0.
Une droile quclcontjiic passMiit p;ir le point donné est l'cprosuritéo par les cqii.iliuns
Ou en lire A = A' 4- J.p, B = B' -(- pp, C = C -+- wp. Substituons ces valeurs dans l'étiualion de la courbe; il vient
F (A' -1- ïp, B' + fip, C H- «p) = C,
ou, en développaiil suivant un théorème du cnleiil différentiel,
F (A'B'C) -4-p [XF/(A',B',C') + ;xFb'{A',B',C') +vF/(A',B',C')] -h . .. = ;
les termes qui suivent dans le premier membre renferment p élevé à une puissance supérieure à la première. Si la droite que l'on considère est tangente à la courbe, l'équation précédente doit donner deux racines égales à 0, puisque la droite rencontre la courbe en deux points qui coïncident ; mais 1' (A',B',C') = 0, car le point donné est sur la courbe ; donc, il faut que l'on ait
/F/ (A', B', C',) ^ ^F,' + fF,' = 0.
Si on remplace les coefficients \iJ-,v par les différences A — A', B — B' C — <]', on aura pour l'équation de la tangente
(A — A'} l'V (A', li', C) -i- (B — B') F/ -i- (C — C) F,' = 0, ou bien
AF/ (A'B'C ■+- BtV -t- C\'r! ==0; car, en vertu d'une propriété des fonctions homogènes,
A'F/ (A', B', C) + B'F„' + C'Fo' = 3F (A'B'C) = 0.
333 . Si d'un point (A', B', C) on mène des tangentes à une cotu-be du troisième ordre, les points de contact de ces tangentes se trouvent sur une conique.
En général, par un point donné, on peut mener sis tangentes à une courbe du troisième ordre. En effet, une tangente quelconque issue de ce
„ 4(18 — piiint et toucliynl la coiirbo au point (A", B", C") cht représentée pnr
(h) AF,' (A", B", C") -h BF/ + CF/ = ;
mais, comme eUe passe par le point (A', B', C), on a la relation A'F/ (A", B", C") + B'F/ -1- C'F,' = 0,
et, en combinant cette ëqualion qui est du second degré en A", B", G" avec F (A", B", C") = qui exprime que le point (A", B", C") est sur la courbe, on trouve en général six valeurs distinctes pour les inconnues
p7r ' pTT' ily S donc SIX points de contact et sixtangentesa la courbe qui
aboutissent au point donné.
La relation (a) exprime que le point de contact (A", B", C") de l'une des tangentes se trouve sur la ligne représentée par
A'F/ (A, B, C) + BT„' + C'Fc' = 0,
équation du second dcgi'c en A, B, C, qui représente une conique passant par les points de contact des tangentes issues du point (A', B', C).
33S. Le produit des distances d'im point d'une courbe du troisième degré à trois droites fixes est au produit des dislances du même point à trois autres droites fixes dans un rapport constant.
Considérons les six droites représentées par les équations A = 0, B = 0, C = A' = 0, B'=0, €' = 0.
L'équalion
ABC — M'B'C' = est du troisième degré en a: et y et renferme treize constantes ; on peut donc toujours ramener d'une infinité de manières une équation du troisième degré h cette forme d'où résulte le théorème énoncé.
399. Si on considère le système de coniques qui passent par quatre
points fixes d'une courbe du troisième ordre, toutes les cordes qui passent
par les autres points d'mtersection des coniques et de la courbe concourent
en un même point situé sur la courbe.
En effet, soient A = et B = 0, A' = cl B'=0 les équations des
côlés opposes du quadrilalère (jdi a pour sommets les points fixes; l'équation
AB — M'B' = où k est un paramètre arbitraire, représente toutes les coniques circonscrites an quadrilatère. D'un autre coté, une courbe du troisième degré qui passe par les sommets du quadrilatère peut être rcjircscnlcc par l'équation
ABC — /£'A'B'C'=-0, car elle est satisfaite pour A = et A' = 0, A = et B' = 0, B = el A' =0, B = et B'=0, Mais si on élimine AB entre les équations précédentes, il vient
feA'B'^ ™'^'' on A'B'(tC-it'C') = 0.
H en résulte que la droite de l'équation
kÇ. k'C = est celle qui passe par les deux autres points d'inlerseelion de chaque conique avec la courbe ; toutes les droites représentées par cette équation où A: est un cuefUcicnt indéterminé passent par le point d'intersection des lignes
C = 0, et C = qui se coupent sur la courbe.
330. Si on mène des tangentes à vue courbe du troisième degré aux points où elle est rencontrée par une droite quelconque, ces tangentes rencontrent la courbe en trots points situés en ligne droite.
Si, dans l'équalion duN" 528, on suppose que les droites A'=^0, B'=0 coïncident, il vient
