CHAPITRE VIII

COURBES DU SECOND ORDRE (soub).

Propriétéa prlmolmlM de l'eUlpae, do l'hyperbole et de Is pw^iole.

Somiimi. — BtUpu rapportit à te* aaei. Fm/tn, dirtch'iut. DMtr^Uom ie U CMrk. Ta*gtntK, normale, dùanètrei et cordet mpfUmnttairtt. — HyparboU. Profriitit laologuei à eelln de l'tllipia. Hyperbole rapportée à ici veympMet. — ParaMT. Coatlructiim et tliiorimei divere nir cette Mltrfre.

§ 1. DB l'ellipse.

191 . Quand on rspporte l'ellipse à deux diamètres conjugues, elle est définie analytiquement par une équation de la forme

My* + Na;* = 11,

où les coeflicients M et N sont de même signe. On peut lonjours faire en sorte que M et N soient positifs dans le premier membre en changeant les signes, si c'est nécessaire. L'équation précédente ne pourra donner lieu qu'à trois ces difttincts savoir :

My* + Na:* = H, Hy' + Ni» = — H, Ms* + Nx' = o. Dans le second cas, il n'est pas possible de satisfaire à l'et|ualion fu des valeurs réelles de x et de y, et l'ellipse est imaginaire; dans le troisième, l'équation ne peut être vérifiée que par les coordoDoées de l'origine: xe=o,j/^o; l'ellipse se réduit à son centre; il ne reste doue qu'à considérer le premier cas qui correspond à une courbe réelle.

D,gnz.dbvC00gle

C'est ce que nous allons faire, dans ce porngraphe, en déTeloppaot l'idée que l'équation exprime, afin d'arriver A une notion exacte de la courbe et de ses propriétés.

Supposons les axes rectangulaires, et posons :

■Vr '=\/!^

on aura ii considérer l'équatioo

La longueur AA' = aa {fig. 62), interceptée par la courbe sur l'axe des X, s'appelle Vaxe majeur ou le grand axe, et la longueur BB' = 2b, interceptée sur l'axe des y, l'ime mineur ou le petit axe de l'ellipse. Les points A, A', B, B' sont les sommets de la courbe.

En chassant les dénominateurs, l'équation (i) devient

(2) o*y* + 6'x* = a*6* ; d'où on tire

en la résolvant par rapport A y. Comme l'équation (2) ne renferme que

les carrés de x* et dé y*, la courbe est symétrique par rapport aux axes

des coordonnées; car h chaque valeur attribuée à l'une des variables, elle

donnera deux valeurs égales et de

signes contraires pour l'autre. En

vertu de l'équation (3), l'ordonnée

y est réelle pour toutes les valeurs

de X comprises entre — a el + a ;

elle est nulle pour x = db a. et

elle prend sa valeur maximum b,

quand a: = o.

Afin de déterminer comment varie le rayon OM, quand le point ^'* "'

H décrit la courbe, prenons pour pâle le centre de l'ellipse, et pour axe polaire le grand axe: l'équation de la courbe en coordonnées polaires

D,„„.db,Coogle

'*' ^ a* sio*« + 6' cos*u a* — (a' — 6*) cob'» La valeur maximum de p correspoud au minimum du dënominatenr, c'eslri-dire & cos (o=i, ou «=^0; dans ce cas, ou a p=±a. Lorsque» augmente de o â go", le rayon diminue jusqu'il sa valeur minimum b qui répond à u^go". Les sommets A et A' sont les points de la courbe les plui éloignés du centre, tandis que B et B' sont les points tes plus rapprochés. La courbe doit donc nécessairement affecter la forme indiquée dans li figure.

Il est boa de remarquer que la valeur de p ne change pas, si on remplace b) par 180' — u; les diamètres également inclinés sur les axée sout égaux. Si on décrit du centre de l'ellipse un cercle avec un rayon plus petit que a, les axes seront les bissectrices des angles a^acents des diamètres qui passent par les points d'intersection de l'ellipse et du cercle. Si on voulait obtenir l'équation de l'ellipse rapportée à l'un de ses sommets, par exemple A', il sufQrait de changer x en x — a dans l'équation (i), et il viendrait ainsi :

a* 0' o' fr' a

En résolvant cette équation par rapport à y*, et en posant p ==— , on

trouve

y' ^= 2px — - X".

La quantité 2p s'appelle le paramètre de l'ellipse; on voit que, pour cette courbe, le carré y' est inférieur au rectangle construit sur le paramètre et la longueur x : de là dérive son nom ellipse (lAXclreiy). Nout verrons plus tard que, dans l'hyperbole, y* est plus grand que ipx, etqne dans la parabole, y* est égal à npx : de lli les noms kypa-boU (ûrtp^ifMif) et part^U (ra^iSâXAEiv).

Après avoir déduit la forme de la courbe de son équation, nous allons démontrer quelques propriétés qui en donnent une construction géométrique.

%9%, itii ordonnét* ptrpendictthirtt au ^an4 axe, d<inf CtU^^ it k

D,gnz.dbvC00gle

eercU décrit sur cit axe comme diamètre, xont dan$ le rapport constant du petit axe au grand axe.

Ea effet, l'ardonoëe ^ de l'ellipse, pour udc abscisse x^Xi, a pour expression

tandis que la valeur de l'ordonaée Y dans le cercle de rayon a pour la même abcisse esl

Y = |/a' — xtK On en déduit la relation

qui exprime la propriété énoncée.

On prouverait aussi racilement que les abscisses perpendiculaires au petit axe, dans l'ellipse et le cercle décrit sur cet axe, sont entre elles dans le rapport du grand axe su petit axe.

18S. Quand une longueur conttanteRS glisse sur deux axes rectangulaires, un point M de la droite, situé aux dittanees a et b des extrémxlés, décrit une ellipse ayant pour axes 2a, 26.

Soit RS une position de la droite mobile; menons les coordonnées du point H et appelons a l'angle HRO. On a, en posant US ^ n, MR = b, x = DP = MQ = a cos «, y = MP = 6 sin « ; d'où

En élevant au carre et en ajoutant, il vient pour l'équation du llett

ce qui démontre le théorème. t^, lâ.

Il est facile de vérifier que le point H jouit de la même propriété, s'il se trouve sur le prolongement de la droite mobile. Soit S'R' une ligne de

D,gnz.dbvC00gle

longueur constante qui glisse sur les deux axes rcctangnlaires, et H un point tel que MS' ^=a, IIR' = 6; on a encore

I = OP = S'Q' = o cos (5, 1/ = MP = 6 sin ^,

|3 étant l'angle d'inclinaison de la droite sur l'axe des x. On en tire

Ainsi, dans les deux cas, le point H dëcnt une ellipse qui a |M>ur demiaxes ses distances aux extrémités de la droite mobile.

■ 94. Deux droiteg, issues des extrémitét du grand axe et i€ ampamt sur Cellipse, déterminent sur la directivn du petit axe, à partir de torigine, deux tegmetUt dont le produit est constant et égai d 6*.

L'équation de l'ellipse peut s'écrire

Soit X un coefficient indéterminé; les droites représentées par les équations

se rencontrent sur l'ellipse; car, en multipliant membre à membre, m retrouve l'équation de cette courbe; de plus, quel que soit A, la prenîèrc passe par le point (a, o), et la seconde par l'autre extrémité du grand axe (— a, o). Or, si on pose a; = o, il vient {fig. 62).

j, = 0N = 6X y = ON'=!j;

par suite, ON -ON' = 6'

On verrait de même que l'ellipse est le lieu du point d'intersection des droites

issues des extrémités du petit axe, et qui déterminent des segmente sur le grand axe dont le produit est égal k a*.

D,gnz.dbvC00gle

Enfin, Dons ferons encore remarquer qu'une seconde droite ptissant par A (fig. 63) et reprësenlée par

sera perpeadicu taire Ji AH avec la condition

-— X = — i; «l'ou p = __j

a a oH

par suite l'équation de la perpendiculaire h AH est

Or, si on élimine A entre cette équation et celle de la droite A'H, on trouve

Donc le lieu des points d'intersection de la perpendiculaire arec A'H est une droite (d) perpendiculaire au grand axe. Étant donnés les axes AA' et BB', les points B et B' suffiront pour déterminer cette droite. Dès lors en faisant pivoter un angle droit autour du point A, la droite qui joindra A' avec le point d'intersection d'un cité de l'angle avec (rf) rencontrera l'autre côté en un point de l'ellipse.

rOVERS ET DIRECraiCBS.

I9ft. Soit l'équation de l'ellipse

S'il existe un foyer F {a, P) et une directrice correspondante D = fcc + «y H- n ^ o, elle doit pouvoir se ramener 4 la forme (N* ^ 54)

■ (x — «)» + (y-p)« — (/a;-J-my + n)* = o, on bien

x*{i — /')+ï'(i — m')— 2^miy— 2(«+/ii>r— 2(p-l-mn)y+a*+^'— n'=o. Puisque la courbe est rapportée à son centre et ii ses axes, les termes

D,gnz.dbvC00gle

du premier degré aiosi que le tenue en xy doiveot disparaître de l'^iu- U«n. Par suite,

Im = o, a-^ln^o, P-|-mn=io.

L'un des deux paramètresY et m doit être duI. Supposous d'abord m ^ o; il en résultera p = o et, en remplaçant a.* par /*»', l'équatiai Be réduit à

En identifiant celle^i avec (i), on a: n'=o*, m*(i — /*)=6'; par suite,

p='ÙZ^ et «« = i»n' = a»-6'.

Posons maintenant : c = |/o* — 6'; les valeurs de a, l et n seront ;

En vertu de In relation : a ^ — ln,\\ Taut choisir les signes de / ri de n de manière que leur produit soit de signe contraire âa ; on a aiasi les deux systèmes

a = + c, i=-, n = — a a c, / = -, ft = + <i.

On pourrait encore éclianger les signes de l et de n; mais la partie linéaire entrant au carré dans l'équation, le résultat final serait le même. Donc l'équation (i) pourra seulement prendre l'une des deux fornies suivantes :

(, + c). + V'-(ï+a)'- On en conclut l'existence de dv.x foyers réels F et F' situés sur k

D,gnz.dbvC00gle

grand «xe à une distance du centre c = |/a' — 6*, les directrices correspondantes ayant pour équations

ce sont deux droites DL, DL' perpendiculaires à l'axe majeur.

Supposons maintenant l^o; alors a = o et j3 ^ — mn. En répétant un calcul semblable au précédent, on trouve pour les paramètres des valeurs imaginaires; il en sera de même des deux foyers de l'ellipse situés sur le petit axe. Nous nous occuperons seulement ici des foyers réels.

Puisque m ^ o, |//* -j- m* se '■'■ **•

réduit à

c'est le rapport de la distance focale FF' ïi l'axe majeur AA' ; cette quantité est plus petite que l'unité et s'appelle excentricité de l'ellipse. Dans le cercle où 6 ^ u, e = o; dans une ellipse infiniment aplatie oîi b ^ o, e = I ; les diverses valeurs de l'excentricité comprises entre o et i correspondent aux formes variées que peut affecter l'ellipse. La courbe sera presque circulaire si e est voisin de zéro et très étroite si t est voisin de l'unité.

■ •S. On appelle rayons veetettrg les distances d'un point M de la courbe aux foyers F et F'. Les équations précédentes donnent immédiatement leurs valeurs

MF' (a - c)' + s' - (^o ~y ,

SF'-(i+c)-+y>-=(a+"y;

D,„„.di,Coogle

par suite