OA..OA OA

UB, -OBi OB.

reste constant quel que loit le point 0 pourvu que les transversales & direction.

fl*. On conpe une courbe algébrique par un polygone ABC ■— R. S, i ee polygone dans un sens, on fait te produit des segments compris entre les aommcls successifs et la courbe, ainsi que le produit analogue, en parcourant le polygone en sens contraire, les produits ainsi obtenus sont ëgaui.

■ •■ Par un point fixe, on mène une transversale à une courbe du m''» ordre aiiisi que les langeâtes aux points où elle rencontre la courbe. Une sécante quelconque, menée par le point fixe, rencontre la courbe en m points et les tangentes aussi en m points; te centre harmonique des deux systèmes est le même.

tm. Lorsque n -f- 1 cAlës d'un polygone variable pivotent autour de n -h i points fixes, tandis que » sommets décrivent les lignes d'ordres ni, ntt ■■- Ma, le dernier sommet libre décrit une courbe de l'ordre 3in,mi •■- n.; si lee points fixes ou pôles (ont en ligne droite, la courbe décrite est de l'ordre : mim m..

>•. Soient trois courbes Fi, F|, F, reipeclivement de l'ordre mi, mi, m,; le déterminant fonctionnel de F,, Fi, F| égalé à ïéro représente une courbe appelée la jac»- 6(nme du syslèrae. Montrer qu'elle est de l'ordre «it + uii -t- asi — 3 et qu'elle est le lieu des points dont les polaires linéaires par rapport aux courbes F|, Ft, F( coBConrent en un mime poiuC.

»t, n 7 •, en général,

points dont les polaires tinéaires pir rapport à deux courbes d'ordre ni et n coïncident.

as. Lorsqu'une droite enveloppe une courbe de II classe k, les {m — t)* paies de

cette droite relativemeot à uoc courbe de l'ordre m décrivent uue courbe de l'ordre

as. Les eoui^es d'un réseau d'ordre m qui possèdent deux points doubles sont au nombre de 3 (m — i)(t» — 2) (3m' — 3m — 11).

a4. EMlerminer les nombres caraclérisliques de la Auiienne, de la ilnnirànne, de la cayltj/eniM d'une courbe de l'ordre m.

Nous savons (N> 337) que lu hessienae est le lieu des points du pttn dont les coniques polaires ont un point double ou bien le lieu des points doubles des premières pidiires d'uD point quelconque. Son équation s'obtient en éliminant «', y', >" du syslime

L'ordre nt' de la courbe est 3 (m — 2) ; en génàvl, elle n'a pas de poinb donbles et d = o, r=o. Les formules de Plûcker donnent ensuite

La tleMiitmu est le lieu des pâles (z', y', s'] dont les premières polaires ont un point double ou encore, le lieu des points doubles sur les coniques polaires. Son équation se déduit des retslioDS (a) par l'élimi nation de x, y, 7; chacune d'elles étant du degré m —2, le rétultant sera da degré 3 (m — a)* par rapport à «', j', 2'. Celte courbe est liée à la bessienne psr une relation nniforme et elle sera du même genre que celle-ci. Il resterait i déterminer une troisième singularité, par exemple, la classe de la courbe. Cn point (oi, y, ;) de la hessienne salisrait à l'équation de la première polaire correspondante

»'/:+sy;-i-ït.=o.

Supposons que le pâle («', y', i') décrive une tangente wc' -v tiy' + «>«' = o i la steinérienne. En éliminant ir' entre ces deux équations, on trouve

celM relation devant avoir lieu quels qne soient y' et >', on a

D,gnz.dbvC00gle

Aiiui, i un point (x, v, i) d« la hessienne correspond nne tangente 1 li iteiaàHeniie. Soit ({,!), ;) un point quelconque du plan; pour une Ungente pautnt pir ce point,

CD combinant cette équation qui «it du d^rj m — i avec celle de la beniaiDe, m tronve 3 (m — 2) ("■ — i) points de cette courbe correspond m ts s tontes les tangentes de 11 sleinérienne qni passent par le point {{, q, ç); donc, 3 (m — i) (m — a) est li classe de cette demiire. L'application des fomulei de Plûeker conduit suz valears xaÏTinlet pour la steinjrieane :

«' = 3(«-2)«, *' = 3(m-i)tm-2t, S = j (3"i - 7) 0" - 8>, <(=|(m-2){-.-3){3«>-9m 5), r- i2(n~3,(m-3), i = |{™-2)(«.-3){3m»-3«-8), t = 3(»-3)(4«-9).

Enfin la eayleyenne est la courbe enveloppe de la droite qni joint le pâle oa od point de II steinérieane avec le point double de la premitre polaire ou son correspondant tv ta heuienne; elle eut liée aux deux autres par une relation nnifonne et elle «era di même genre. La classe, d'après une remarque da H > SU, est égale à la somme détordra de la hessieone et de la sleinérienne, c'est-à-dire

En général, elle n'a pas de poinia d'infleiiou et l'^o. Connaissant la classe, le geare et 1« ralem" de t, on peut fimner le tableau suivant :

m' = 3(«-3)l5««— II), .i = |(«-2){S"« — i3)(5»'-i9"-*-i6)

On a démontré que ces nombres doivent être modlBës dans le cas de m := 3.

M. La steinérienne est t'enveloppe des polaires linéairea des points de la beaaienDe ; le point de contact de l'one d'elles sur la steinérienne est toujours le eorretpoudanlde son plie sur la bessienne.

••. Il existe - (m — 3) (ut — 3) (3»i' — gm — 5] premières poliirel doaëei de den

points doublea et 13 (m — 3) (m — 3) premiires polaires qui ont un point de rebrwuw-

rw Dl Li oioHiTaii t

D,gnz.dbvC00gle

D,„„.db,Coogle