Interpréter les équations

aft-*a';SV = 0, »py — *«"/ = <►.

otta,p,y,a',fi'.y' sont des fonctioD* linéaires en > et y ; eo déduijpcdivcrses propriété* des cubiques.

t. Donner le caractère des courbes représentées par

l(' = Ae'-«-B«'-f-C»-(-D.

D,gnz.dbvC00gle

C« sont ilei courbes panboliqQM sani asymptote! rëellu. On p«ut li nmener ■ b

Ella donne : i' Dm cubiques de la sixième classe a>ec trois poinls d'inOeiion rëeb, ri les racinea a, b, e sont relies et inégales, ou encore si une seule racine est réelle ; 2* Des cubiques de la quatrième classe avec trois points d'inflexion réels ou un seul point d'inflexion réel à l'infini, si deux des quantités a, h, c sont égales ; 3* Des eubiqoes de la troisième cissse avec un point d'inflexion réel à l'infini, si a — 6 ^= e. On démontra que tiiutes les courbes du troisième ordre peuvent être eousidérées comme les perspectives des précédentes.

S. Etudier les cubiques de t'éqnatioD

A»» -•-B«'y -•-£«¥•+ Dï'-t-y=o, qu'on peut ramener a la forme

D{j( — (m) (y — ftœ) (y — MJ-vy^o.

Elle donne : i* Des cubiques de la sixième classe avec trois asymptotes et trois points

d'inflexion réels, si a, h, c sont réels et différents ; 3* Des cubiques de la 4* classe avec

UD point double à l'infini, si deux des quantités a, £, c sont égales; 3* Des cubiques delà

troisième classe avec un point de rebrousse ment k l'infini, si a ^ 6 ^ e.

V, Former le tableau des singularités ordinaires d'une courbe du quatrième ordre- Une telle courbe peut avoir trois points doubles ou trois points de rebrousseroent ; par suite, on aura :

. Leutnûcate. Cette courbe est définie par (N» 14)

en U rendant homogène.

Elle a pour centre l'origine des coordonnées, et pour directions asymptoliquet celles du cercle ; les points cycliques sont des points doubles ;cBrladroileB-4-yV^ — i«-i« rencontre la courbe en deux points coîncidenls i l'infini, quel que soit X. ~

D,gnz.dbvC00gle

n«Dt i de manière que z* soit facteur dsns rëquttioD, on trouve des Ungeoles téptréei * + yV' — i^±a. Même candusion eu partant de rëquttioDB — y\/~i^iz d'une droite quelconque passant par l'antre poiul cyclique. Enfin l'équation de la courbe montre qu'il y a un troisième point double ■ l'origine dont les tangentes sont •» — y'= o. Le tablean donne ensuite

•. Canchotde de \icamide. Etant donné un point 0 et une droite fixe D, on mène par 0 une sécante quelconque qui rencontre D en K ; on prend ensuite lur la sécante K H ^ K U' := a (conslante) : te lieu des points U et H' est la conchoïde.

Le point O étant pris pour origine et la perpendiculaire abaissée de ce point sur D pour axe des ai, on troure, pour l' équation de la courbe

(«■ + y') (»-?)■ = «'*• p étant la distance de la droite D à l'origine. En développant et en la rendant homc^ène,

(x* -»- y') jj' — apai (a:* -*- y'] -t- p'y'i' + (p' — o'j »•»' ^= o.

La courbe a un point double à tangentes séparées 1 l'origine, si a > p, et un point

is<dé, si a <pj l'êqualion est satisfaite parz =oet a'^Oj l'extrëroilë de l'axe des y

est UD point double ayant pour tangente uuiqucy^ + pX) c'est donc un point de

rebroussemenL La courbe n'a pas d'autre point double ; par suite, on aura

4 = 7, i=io, ( = 4, s = I.

Lorsque «=p, l'origine est un point de rebroussemeui et Ton a, dans ce cas,

fl*. Lùnaçon di Patral. Par un point O d'une circonférence, on mène une sécante qui la rencontre en K ; on prend sur la sécante KM ^ KH' =r u (conit*nle) } le lieu des pointa M et H' est le limaçon de Pascal ou la conchoïde circulaire.

L'origine étant en 0 et l'axe des y coïncidant avec la tangente en ce point, on trouve que ta courbe est représentée par

(»■ -t- j" - px)* = o*(a' + y*), p est le diamètre du cercle fixe. En développant, on peut écrire

(a* + j,>)i 2^pxz (»' ^- j") + iB*!' (p" — Q») - aV' = 0-

L'origine est un point double isolé ou avec deux tangentes réelles suivant que a est plus grand on plus petit que p; les points circulaires à l'inâni sont aussi des points doubles; on peut s'en assurer comme dans l'ex. g; on aura doue

Si <> = }>, l'origine devient un point de rebroussement et la courbe s'appelle alors cordwide. On a pour celle-ci

1 1 . Scarvbit. One droite de longueur constante glisse sur deux droites rectangulaires

D,gnz.dbvC00gle

— ISÎ —

AR, AS; d'uD poiot 0, prit «ur li bineetrtce de l'angle RAS, ea ibtiue nue perpandicnltire lur ia droite mobile; le liea dn pied de celle perpendieuliin est ucie conriw appelée latrabi».

Eu pli^t l'origiiie en 0 et en prenant deux axes parallèles h AR el AS, l'éqaattMi de la courbe est :

p déiigoe la duUnee da point 0 au *Mniiiet de l'angle dnnt et «s la longneor contante de la droite mobile.

Cette coorbeeitdaBiiième ordre; eflei ua point quadruple 1 l'origine et, pour pouls doubles, d'abord let pointa drcnlaires i l'infini, euanite lei deux pointa mirant* : P

Par l'applicatiD

des formules de Hûcker, il vient

t = IO. ( = 12, 1 = 24, 1

lonquopso

rëqnation de la scarabée se rMml à

{«•-HV^«=4"'A',

et la courbe s'appelle alors roèoee à quatre brmehei : c'est te lien du fieà delà perptadienlaire tbaissëe du umoiet de l'angle droit sur la droite nmbile. Elle a un centre à l'origine et quatre axes, les axes coordonnés et leurs bissectrices.

fl t. Diveloppit di l'dltpit. On appelle développée d'uDe ligne la courbe envrit^pe des Dormales à cette ligne. Pour l'ellipse nous avons vu (page 310) que la dételoppëe est représentée par l'équation tangentielle

OH)* *■ S'il' = tVv'.

Cfaerchont son équation en coordonnées cartésiennes. L'ellipse et l'hyperbole qui passe par les pieds des quatre normales issues d'un point (>, fi] ont pour équations

^ + |i - I =0, e'n» - -«ay + 6'|S» = <>■

Eiprintons que la courbe .

se réduit à deux droites ; on arrive Ji l'équation

*■ ■+■ o'ft*(aV ■*-ff — ^)k-i- aB"*»*"-? =o. Bn considérant la développée comme le lien des points d'où on peut meDcr 1 l'eBipse deui normales colneideutes, son équation s'obtient immédiatement en exprimanl ^c la précédente a deux racines ^ales. On trouve ainsi, en rempla;ant a et ^ par c et y

D,gnz.dbvC00gle

L« dëTcloppde de l'ellipia eit dooc une courbe du lixifane ordre st de It qnilri^e cluw. D'iprif *0D mode de gktirOioa, il est diir qu'elle ne peut iToir de poôitt d'inlleikin. L'applicuioD des foitnules de Plûcker donne ensuite i = 4, r = 6. 1 = 3.

n ]r ■ qube points de rebroouement mr le* txe>, mmr :

dont les ttngentes sont les utes de Pellipse. Les directiani uymptotiques sont données per

On Mit pu r^aitioD rendue iHMiogine

(oV + 6 V — ey -^ ara**'"*»*?'!' = o que ehaeonc d'dies rencontre le courbe en dem points CMBcident* snr !■ droite de l'infini. Il en est de même des droites

am ■*- hi/\^ — 1 ^= Xi, ua — 6yV— i ^ ^ qneb qae soient 1 et /i. Il y ■ donc deux points doubles i l'infini et casont des points de rebronssement puce qu'ils ont pour tangente unique 11 droite de l'infini. Les «les de l'ellipse et cette dernière droite sont les trois tangentes doubles de b courbe. Par la eoDsidëration des premières déri*ées on tron*e eneore quatre points doubles ordinaires, mais ils sont imaginaires. La courbe est du genre léro comme l'ellipse; il en doit être ■iuii pnisque les courbes se carespondenl point par point.

IS. Podairei, Etant donnée une ligne S, si on mène, par un point fixe 0, des perpendiculaires SOT ses tangentes te lien des pieds de ces perpendiculaires rat une courbe dériTêe de la première & laquelle on a donné le nom de podaire du point 0 par rapport ! la ligne donnée. Si on forme li podaire de cette première courbe par rapport è 0, on obtient la seconde podaire de S, et ainsi de suite.

Afin d'arrirer bellement i l'équation d'une podaire, prenons le point 0 pour origine d'un système d'aie* rectangulaires et soit

um + vy + 1 = 0 la tangente 1 S; les cosinus directeurs de la perpendiculaire ainsi que les coordonnées dti pied de cette droite sont proportionnels è « et o ; on peut donc écrire

D,„„.db,Coogle

V»T coai^iieul, une courbe it»nl npriienlit p«r F(>i, ti) = o ou ^z, jr)^o, U podiiri de l'origine le sera par

f(—^^. i Vo o„ r( —' ^Vo.

Pir eMmple, on troore îmmddittameat pour les podaires du centre d'une dKpae et d'une hyperbole

iAfi-hb'!,* = (a* + y*)\ aV-b*y>=:l»' + s'i'. et pour celle du loinmet d'une ptrabole y* = — apc, pj(' = a»(w*-»- j*); e'ett une ciuoïde, etc.

■4. L« imufomutioD par rayons vecteurs r^proques est une transfonnatioD ralioDnelle du second ordre réversible, dont les trois points fondamentaui des figures coïncident BTee le centre 0 de la transformation et les points circulaires à l'infini. Si at est l'ordre d'une courbe S, r le degré de multiplicité du centre 0 et t celai de* poinli cycliques par rapport i S, les nombres analogues m', r', i' de la transfbnnfe seront :

IS. La polaire réciproqne d'une ligne S, par rapport à tu point 0, est rinrerte de b podûre de ce point.

!•. SI, par un point quelconque 0, on mine deux transversales coupant une courbe

de l'ordre m aux point» A„ A A„ B,, Rf- R, le rapport