SUPPLÉMENT A LA DIX-HUITIÈME LEÇON

Constmction de la normale à la surface podaire. — Reprenons la

flg. l52.

Quelle que soit la position du point p sur la surface podaire, on a un angle droit, tel que apb^ dont un côté passe par le point ^i-ae a, dont Tautre côté est tangent à (B) et dont le plan est normal en 6 à cette surface.

Pour un déplacement infîniment petit de l'angle apby satisfaisant toujours à ces conditions, on obtient le foyer de son plan en élevant du point a la perpendiculaire al à ap et en prenant le point / où cette droite rencontre la normale bn. Cette dernière droite est, en effet, dans le plan apby la normale à la surface engendrée par le côté/76.

Le foyer du plan apb est donc le point /, pied de la perpendiculaire abaissée de a sur bn, La normale à la trajectoire du point p est alors /?/; comme cela est vrai, quel que soit le déplacement de l'angle a/>6, la droite pi est la normale à la surface podaire [/?].

Les droites /?/, a6, diagonales du rectangle apbl, sont également inclinées sur ab : on retrouve ainsi le résultat déjà obtenu page 256.

Surface de l'onde : autres définitions. — Du point o comme centre {fig, i53) décrivons une sphère de rayon K et prenons par rapport à

LEÇON d'optique GÉOMÉTRIQUE. 265

celte sphère la polaire réciproque (') de rellipsoïcle [m] : nous obtenons un nouvel ellipsoïde (M). Cette surface est tangente au plan polaire de m, plan qui est perpendiculaire à om et qui est une distance op' du point o égale à op. La trace de ce plan polaire sur le plan de la figure estp' r' ; elle rencontre©^ au point /•', pôle du plan tangent tm. Ce point r' est le point de contact avec (M) du plan tangent />'r'.

En faisant dériver la surface de Tonde [/•] de Fellipsoïde (M), on a cette troisième définition :

On Joint le centre o de V ellipsoïde (M) au point r' de cette sur-face. Dans le plan mené par or' normalement à (M) e/i /•', on élève à or' la perpendiculaire or et l'on porte sur cette droite le segment or égal à or' ; le lieu des points r est une surface de l'onde.

Il résulte de cette troisième définition que la surface [/W|] est aussi une surface de Tonde (*).

En faisant usage des trois définitions de la surface de Tonde, j'ai pu transformer des propriétés de Tellipsoïde et arriver à des propriétés de la surface de Tonde. C'est ainsi qu'aux propriétés des diamètres conjugués de Tellipsoïde correspondent des propriétés relatives aux diamètres de la surface de Tonde. Ces dernières propriétés sont remarquables, parce qu'elles s'interprètent en Optique (').

Voici une autre définition de la surface de Tonde :

La surface de l'onde est le lieu du sommet d'un angle droit dont les côtés sont respectivement tangents à un ellipsoïde {ou à deux ellipsoïdes homofocaux) et dont le plan est normal à cette surface {ou à ces surf aces) en chacun des points de contact de ces côtés.

En déplaçant infiniment peu l'angle droit, on voit facilement que la normale à la surface de Tonde ainsi engendrée passe par le milieu de la corde de contact des côtés de cet angle (♦).

Détermination de la normale à la surface de Tonde. — Reprenons Tellipsoïde (E), dont le centre est o {Jig. i53); menons le rayon vec-

(*) La théorie des polaires réciproques est due à Poncelet. On trouve la tliéorie générale des polaires réciproques dans le Tome IV du Journal de C relie.

La théorie des polaires a donné le premier exemple de transformation d'une figure en figure corrélative.

(') Cette génération delà surface de Tonde est due à Mac-Cdllagh, qui a trouvé aussi que la normale à [mj en m, est perpendiculaire à la normale en m à Tellipsoïde et rencontre cette droite.

(') Nouvelles propriétés optiques déduites de Vétude géométrique de la surface de ronde (Journal de Physique théorique et appliquée, t. V).

(*) Voir mes Notes dans les Comptes rendus, séances des aG avriï i88o et 7 juin 1880.

a66 SECONDE PARTIE. — DIX-HUITIÈME LEÇON.

leur oni et la normale N à (E) au point m. Faisons tourner le plan de ces deux, droites sur lui-même d'un angle droit autour du point o. Le point m vient en m^ et la normale N vient en N,, qui est alors perpendiculaire à N.

En répétant cette construction pour tous les points de (E), on obtient la surface de Tonde [w^i] : nous allons démontrer que N| est la normale au point m^ à cette surface.

Traçons sur (E), à partir du point m y une courbe quelconque, et prenons cette courbe comme directrice d'une surface (N), lieu de normales à (E).

En répétant la construction précédente, les différentes génératrices de cette surface conduisent à des droites, telles que Nj, appartenant à une surface réglée que nous désignerons par (Nj).

Les droites N, iNi et la bissectrice oi de Tangle droit compris entre ces droites déterminent une figure de forme invariable. Déplaçons cette figure de façon que la droite oi passe toujours par o et que N coïncide successivement avec les génératrices de (N), alors N, coïncide avec les génératrices de (N,).

Pour un déplacement infiniment petit de cette figure, son plan a pour foyer un certain point tp de la perpendiculaire élevée du point o à la droite oi. Les pieds b et b^ des perpendiculaires abaissées de ce foyer sur N et Nj sont les points pour lesquels le plan (N, N,) est normal à (N) et (N,). Il résulte de la construction de b et de 6^ que Tangle bob^ est droit et que 06, = ob ; par suite, on a aussi b^ nii z=z bm.

Laissons le déplacement de cette figure et supposons maintenant que Ton déplace N, de façon que son pied m décrive la directrice de (N). Le point 6, supposé marqué sur N, décrit alors une trajectoire normale à N, et, comme il se déplace dans le plan tangent en b à (N), plan qui est perpendiculaire au plan de la figure, il décrit un élément normal au plan de la figure.

Puisque o^i est égal à 06, le point 61, correspondant au point b^ décrit aussi un élément perpendiculaire à N,. Mais, lorsque N décrit (N), bm reste de grandeur invariable; il en est alors de même de biFTiyj qui lui est égal : le point m, décrit alors aussi un élément normal à Np Ceci est vrai quelle que soit la directrice de (N ) : donc Nj est normal à tous les éléments décrits par m,; par suite, c'est la normale à la surface [/t^i].

NOMS DES AUTEURS QUI ONT TRAITÉ DE LA SURFACE DE l'oNDE. 267