SUPPLÉMENT A LA VINGT-SIXIÈME LEÇON

Gonstmction des centres de courbure principaux de la surface de vis à filet triangulaire. — L'axe de la vis {fig- aao) étant vertical, menons

Fig. 320.

un plan horizontal (H') par le point o où cet axe est rencontré par la génératrice om. Le point/ étant la projection de l'adjointe au plan perpendiculaire à om, la normale au point m à la surface de vis se projette suivant //n.

Nous nous proposons de construire les centres de courbure principaux de la surface de vis qui sont sur la normale //n. Pour cela, nous allons déterminer les points de contact de deux normalies à cette surface qui contiennent cette normale. Prenons comme normalies le paraboloïde des normales à la surface de vis dont les pieds sont les points de om et Thélicoïde réglé engendré par la normale /m elle-même, que

nous supposons entraînée pendant le déplacement hélicoïdal de la génératrice om de la surface de vis.

Occupons-nous d'abord de cet hélicoïde réglé. Soit t la trace sur (II') de la normale /m. Le plan omù a alors pour trace sur ce plan la droite ot. Si ce plan est entraîné dans le déplacement hélicoïdal, sa caractéristique est perpendiculaire à o/, et elle passe par le point/,, projection de l'adjointe au plan perpendiculaire à/m.

Construisons le point/,. Pendant son déplacement, le plan omt contenant toujours la génératrice de la surface de vis telle que o/n, sa caractéristique se projette suivant une droite qui passe par/ Cette droite est alors la perpendiculaire abaissée de ce point/ sur o/; le point où elle rencontre la perpendiculaire abaissée de o sur /m est le point/,.

Il résulte de cette construction que/,^ est perpendiculaire à cf.

Le point/, étant déterminé, on a tout de suite la projection /,e de la normale en un point quelconque e de fm à Thélicoïde réglé engendré par cette droite en joignant le point/, au point e.

Le paraboloïde des normales à la surface de vis le long de om contient l'adjointe projetée en / Ses génératrices se projettent suivant des parallèles à om. Sa trace sur ( H') se compose des droites tg et og, La génératrice qui passe en e se projette suivant el, qui est parallèle à 0//1, et la trace de cette droite sur (H') est en / sur la trace du paraboloïde. Le plan tangent en e à ce paraboloïde a pour trace sur (H') la droite It.

Si le point e était un centre de courbure principal, le plan tangent en ce point au paraboloïde serait perpendiculaire à la normale /,e. Nous devons donc maintenant faire varier la position du point e sur fm jusqu'à ce que la droite telle que /, e soit perpendiculaire à la droite telle que U. Mais, lorsque e décrit fm, le point n décrit sur (H') une droite qui passe par le point /; on a alors la construction suivante :

On mène les droites fi m, ot; elles se coupent en i^. La droite /' rencontre la circonférence décrite sur ft comme diamètre en deux points : les droites qui joignent f à ces deux points coupent f m en Yi, yj> qui sont les projections horizontales des centres de courbure demandés.

Remarques. — Le paraboloïde des normales à la surface de vis pour la génératrice om est tangent au point g au plan (H').

Comme ce paraboloïde contient l'adjointe projetée en /, le plan (H') lui est normal au point /"situé sur og. Nous avons donc sur la gêné-

SECONDE PARTIE. — VINGT-SIXlàME LEÇON.

ratrice og du paraboloïde des normales les points/ et g^ où le plan (ïF) est normal et tangent à cette surface.

Le produit des distances de ces points au point central o, relatif à og^ est alors égal au carré du paramètre de distribution des plans tangents au paraboloïde pour la génératrice og\ mais ce paramètre est égal au paramètre de distribution des plans tangents à la surface de vis, c'est-à-dire au pas réduit h des hélices décrites pendant le déplacement; on a donc

Comme dans le triangle f\ft^ on a

J\SXgt = og{^og-^of)\

on voit donc que f\gX^gt^=h}-^og,

Gonstrnctioii des centres de courbure principaux de la surface de râ à fllet carré. — Nous allons résoudre ce problème en particularisant la construction que nous venons de donner pour la surface de vis à (ilet triangulaire.

La droite ont (Jig^ 221) est dans le plan (H'). Lepoint/de la ques-

Fig. 321.

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-:Ày^

tion précédente est maintenant à Tinfîni. La normale en m se projette suivant une perpendiculaire à om, La trace de cette normale sur (H') est au point m lui-même.

Le point g de \9i fig. 220 est maintenant confondu avec o. Le point /,, en vertu de la remarque précédente, est alors tel que o/, x om = A^ Comme le pas réduit h est donné, on peut construire le point /t.

La construction précédente devient alors celle-ci :

On mène {fig» 221) tes droites ef^y Im, Ces droites se coupent en n, La perpendiculaire abaissée de ce point sur om rencontre la circonférence décrite sur f^ m comme diamètre en deux points : les droites qui joignent ces points à /i rencontrent la normale en m aux points Yi, Yî? 9^^ ^^^l ^^^ projections horizontales des centres de courbure principaux demandés.

Simplifions cette construction ; on a

ni Y j — rnp x mq = Fno X m/i = md ;

ainsi /n^j^ md.

Le point d s'obtient du reste facilement, puisque le segment od est égal au pas réduite.

Voici donc la construction à laquelle on arrive :

Sur la perpendiculaire od à om on porte le pas réduit h. On prend les segments /w^i, /^Yi égaux à md, et Von a en Yi, Yî ^^* projections horizontales des centres de courbure principaux demandés.

L'angle odm est égal à l'angle que le plan tangent en m à la surface de vis fait avec le plan tangent en o à cette surface ; on a alors la longueur /wy', du rayon de courbure principal projeté suivant /tiyï, en élevant la perpendiculaire û^y, ^ ^^'