VINGT-SIXIEME LEÇON

pelons / le point de contact de Tune de ces tangentes. On doit joindre le point o au point/; on obtient ainsi une droite perpendiculaire à /i/; puis on élève au point o une perpendiculaire à o/, et l'on a la projection de la génératrice sur laquelle se trouve le point qui est à la rencontre de cette droite avec /</; ces deux droites étant parallèles entre elles, ce point est à Tinfini. On voit déjà que la Wgnef^fç.sV la direction d'une asymptote; construisons la tangente en ce point à l'infini. Nous savons que Ton doit prendre le point de rencontre de la tangente en /avec le diamètre pq perpendiculaire à o/, et porter le segment /r jusqu'au point t sur cette tangente /r; le point t appartient à la tangente à déterminer. Il résulte de cette construction, puisque le point t est sur la ligne //, que cette droite est l'asymptote elle-même. Ainsi, les tangentes que l'on peut mener du point , à la circonférence sont les asymptotes de la courbe,

Fig. 2i5.

EnfinsupposonsY=p,c'est-à-direoy< = o/. Onaencore(/?^. 2i5) un point double au point /< , et les tangentes en ce point sont les droites qui joignent le point / à l'extrémité du diamètre pq, perpendiculaire à o/i ; ces droites, actuellement, sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Sur une droite /i/, indépendamment du point/, on obtient les points de la courbe en élevant respectivement des perpendiculaires à o/et o/. On voit ainsi que le point de rencontre de/i/ avec le diamètre pq est toujours un point de la projection de la courbe d'ombre ; cette droite pq fait, par conséquent, partie du lieu. Celui-ci se décompose en une droite, et la partie restante est du troisième degré.

La tangente à la circonférence au point f^ donne la direction d'une asymptote; cherchons cette droite. Du point o abaissons sur la droite mm! la perpendiculaire où La perpendiculaire il abaissée du point i smt pq est toujours la moitié de la perpendiculaire mli abaissée du point m sur ce même diamètre pq^ puisque le point i est le milieu de mm'. Lorsque la droite /</, tournant autour du point /i, devient la tangente enf^ à la circonférence, le point i vient se confondre avec le point /< et la perpendiculaire il devient le rayon /, o. La distance du point m k pq est toujours double de la dislance du points' à cette même droite; lorsque le point m est à rinfini, sa distance au diamètre pq est alors double de o/i. Ainsi, V asymptote est perpendiculaire à of^ et est à une distance du point f^ égale au rayon f^ o.

La projection de la courbe d'ombre, dans ce cas, est la courbe connue que Ton nomme stropholde. Il est facile, sur la figure, de retrouver quelques-unes des propriétés de cette courbe. Lorsque, par exemple, le point /vient en /', extrémité du diamètre /o, le point du lieu est en n sur la droite/,/'; dans le triangle m//\ les droites /y,, mo sont deux hauteurs, et Ton a alors

on X ont = of .

Ainsi la courbe est telle, que, si sur une droite om on' prend un — t

rayon vecteur on=:-^> on retrouve la courbe elle-même. Le

•^ ont

lieu des points tels que n est la transformée de la courbe par rayons vecteurs réciproques ; la courbe se transforme donc en elle-même par rayons vecteurs réciproques (*). (Voir la note p. 219).

On peut remarquer encore cette propriété : Si un angle droit tel que mfx n a son sommet au point double f^^ les hypoténuses telles que mn passent par le point fixe o de la courbe.

Gonstraction des points de la courbe d'ombre situés sur une hélice. — Construire les points de la courbe d'ombre situés sur une hélice tracée sur la surface de vis; en d'autres termes, on demande les points de la courbe d'ombre qui, en projection horizontale, se

(») Celle courbure est alors une anallagmatique du troisième degré.

trouvent sur une circonférence dont le centre est au pied de Taxe de la surface de vis.

Décrivons (^fig' 216) une circonférence (1) dont le rayon est égal à h cotv, une circonférence concentrique (2) dont le rayon est égal à h cotp, et enfin décrivons la circonférence donnée, concentrique aux deux premières, sur laquelle on se propose de construire des points de la courbe d'ombre. Sur la circonférence (i). on a le point fixe f^ . Menons les deux droites 06, oc perpendiculaires Tune à l'autre; limitons Tune à l.a circonférence, projec-

Fig. 216.

! ' '" 'VJN 1

tion de Thélice donnée, et Tautre à la circonférence (2); joignons les extrémités 6 et c de ces deux droites et prolongeons la droite bc jusqu'au point d de la circonférence (i); joignons le point d au point o. Si nous faisons tourner l'ensemble de la figure formée par les droites oc, 06, od et cd de façon que la droite od vienne coïncider avec la droite 0/1 , il est clair que le point h viendra en un point m, qui est un des points demandés^ parce que, dans cette position, la figure obtenue est celle qu'il faudrait établir pour construire le point de la courbe d'ombre sur la génératrice om. On n'a donc, pour chercher les différents points demandés, qu'à examiner les différentes positions que peuvent prendre, l'une par rapport à l'autre, des droites analogues à od et oc. Ainsi, le point d peut être au point rf' sur le prolongement de la droite rfc, et, après avoir fait tourner la figure autour du point o de façon que le rayon orf' vienne coïncider avec of^ , le point h viendra prendre une certaine position sur la circonférence donnée, et l'on a encore un des points demandés.

Nous pouvons prendre les droites perpendiculaires l'une à l'autre ob et oc'. Joignons le point d au point 6, nous obtenons le point rfi , et, après avoir fait tourner la figure autour du point o de façon que le rayon od^ vienne coïncider avec la droite o/< , nous trouvons pour le point b une nouvelle position sur la circonférence donnée; c'est encore un point qui répond à la question. Enfin prolongeons la droite rf| b jusqu'au point d\ , nous pouvons faire tourner la figure de façon que od\ vienne coïncider avec o/i, et nous arrivons encore à l'un des points cherchés. Nous avons trouvé ainsi, sur la circonférence donnée, les quatre points m, /ni, m^^ m% qui répondent à la question, c'est-à-dire qui sont des points de la projection horizontale de la courbe d'ombre situés sur la circonférence donnée.

Gonstmction des points de la courbe de contour apparent situés sur l'hélice directrice. — Le problème que nous venons de traiter d'une façon générale s'applique au cas particulier où le cylindre circonscrit à la surface de vis a ses génératrices perpendiculaires au plan vertical de projection et où l'hélice donnée est l'hélice directrice de la surface de vis. Dans ce cas, la trace de ce cylindre sur le plan vertical de projection est la courbe de contour apparent sur ce plan vertical, et les points sur l'hélice directrice sont les points où la courbe de contour apparent sur la surface de vis touche cette hélice.

En projection horizontale, on a toujours {Jig* 208) une circonférence décrite avec h cotp pour rayon. Le cylindre circonscrit a ses génératrices perpendiculaires au plan vertical^ tous ses plans tangents sont perpendiculaires au plan vertical de projection. Les droites qui partent des points tels que / et qui rencontrent les génératrices en des points de la projection horizontale de la courbe de contour apparent sont parallèles à la ligne de terre.

Pour avoir les points situés sur l'hélice directrice, on construit le triangle rectangle bof\ on le fait tourner autour du point o jusqu'à ce que son hypoténuse soit en ef^^ parallèle à la ligne de terre, le côté o/< étant dirigé convenablement par rapport à oe. Le troisième sommet du triangle rectangle est alors sur la circonférence base du cylindre en un point e, qui est la projection horizontale du point ef demandé.

La surface de vis à filet carré est la surface lieu des droites perpendiculaires à l'axe d'un cylindre de révolution et qui rencontrent une hélice directrice tracée sur ce cylindre. Toutes ces droites sont parallèles à un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre ; la surface admet donc ce plan comme plan directeur.

L'axe du cylindre est une ligne de striction de la surface de vis.

Le paramètre de distribution des plans tangents est égal, comme nous l'avons vu, au pas réduit de l'hélice directrice.

Plan tangent. — Supposons {fig* ^'y) ^^ '^^ génératrices du cylindre soient verticales. Pour le point (&', 6) de l'hélice direc-

Fig. 217.

trice, on obtient les projections de la génératrice de la surface de vis en menant, d'une part, la droite Vd parallèlement à la ligne de terre et, d'autre part, la droite ob qui passe par le centre o de la circonférence, projection horizontale du cylindre.

SURFACE DE VIS A FILET CARRE. Sqi

Cherchons le plan langent au point (m', m) de (c'6', 06). Prenons un paraboloïde de^ raccordement le long de cette génératrice. Conservons le plan directeur de la surface comme plan directeur du paraboloïde, et prenons, pour directrices de cette surface, Taxe du cylindre et la tangente au point V à Thélice. Ce paraboloïde est de raccordement, car il a mêmes plans tangents que la surface au point c', au point V et au point qui est à Tinfini sur d U , On n'a donc qu'à construire le plan tangent au point (m, /?i') à ce paraboloïde pour avoir le plan tangent demandé. Ce paraboloïde rencontre le plan horizontal (H'), qui est un plan directeur, suivant la droite qui joint le point o au point /, trace de la tangente à l'hélice sur ce plan, le second plan directeur de ce paraboloïde est parallèle à bt^ et, comme il est parallèle à l'axe du cylindre, c'est le plan projetant horizontalement la tangente à l'hélice. Pour le point (/w, m') la génératrice de ce paraboloïde, du même système que cette tangente, se projette horizontalement suivant une droite menée du point m parallèlement à bt\ cette droite rencontre le plan (H') au point r, où elle coupe la trace du paraboloïde sur ce plan. Le plan tangent au point (m, m') est alors le plan déterminé par la génératrice oh et par cette droite mr\ il a pour horizontale la droite menée du point r parallèlement à la génératrice horizontale oh,

As3rinptot68 de rindicatrice. Paraboloïde oscnlatenr. — La droite mr est tangente à la surface de vis à filet carré; elle est donc tangente à l'hélice que décrit le point m pendant le déplacement hélicoïdal de la droite ob. Entraînons le plan tangent en /n à la surface de vis à filet carré. La caractéristique de ce plan passe par le point m\ où il touche la surface, et, comme ce plan fait toujours le même angle avec le plan horizontal, cette caractéristique est une ligne de plus grande pente, c'est-à-dire que cette droite n'est autre quem/\ Puisque cette caractéristique du plan tangent se confond avec la tangente à l'hélice décrite par le point m, c'est que cette tangente est une asymptote de l'indicatrice. Ainsi, les tangentes aux hélices décrites par les points de la génératrice ob, pendant le déplacement hélicoïdal de cette droite^ sont les asymptotes des indicatrices de la sur/ace de la vis à filet carré. Mais ces tangentes appartiennent au paraboloïde de raccordement dont nous

Sgi SECONDE PABTIE. — VINGT-SIXIÈME LEÇON.

venons de faire usage ; ce paraboloïde est donc le lieu des asymptotes des indicatrices de la surface pour les différents point de la droite ob. Ce paraboloide est alors le paraboloïde osculateur de la surface pour la génératrice ob.

Rayons de courbure principaux. Lignes de courbure. — Pour un point quelconque /n, les asymptotes de Tindicatrice sont à angle droit; les rayons de courbure principaux delà surface, qui sont de signes contraires, puisqu'elle est à courbures opposées, sont donc égaux. Les lignes de courbure en un point; étant dirigées suivant les bissectrices des angles compris entre les asymptotes de l'indicatrice, rencontrent sous un angle de 45** les génératrices de la surface. Ainsi, si l'on trace sur la surface de vis à filet carré des courbes qui rencontrent toujours sous un angle de 45° les génératrices de cette surface, on a ses lignes de courbure.

La surface de vis considérée comme une normalie. — Les génératrices de la surface de vis à filet carré sont les normales au cylindre donné qui partent des différents points de Thélice directrice; on peut dire alors que cette surface de vis est une normalie à ce cylindre dont la directrice est une hélice tracée sur cette surface.

Appliquons cette propriété des normalies, démontrée précédemment (p. 296) :

Le plan tangent à une normalie en un point de sa directrice est normal à cette normalie au centre de courbure de la section que ce plan détermine dans la surface sur laquelle est tracée la courbe directrice.

Pour la génératrice 06, le point o est le point central, le paramètre de distribution des plans tangents est égal à A et le plan central est le plan vertical ob.

En élevant à ob la perpendiculaire oy égale à A, on oblient.en y le point représentatif de l'élément de normalie le long de ob,

La perpendiculaire yf^yb donne alors sur ob le point/ où le plan tangent en & à la normalie est normal à cette surface.

D'après le théorème que nous venons de rappeler, le point/ est le centre de courbure de la section faite dans le cylindre par le plan tangent en b. Ce dernier plan étant le plan osculateur de l'hélice

SURFACE DE VIS A FILET CARRE. Sq^

directrice, le point /est le centre de courbure de cette courbe. Remarquons que l'angle y 60, complémentaire de l'angle que le plan tangent en b fait avec le plan central, est égal à l'angle que la tangente à Thélice directrice fait avec le plan horizontal. La construction du point / n'est donc autre que la construction du centre de courbure de l'hélice à laquelle nous étions arrivés [p. 190] (*). Si le plan tangent en b est entraîné lorsque ob décrit la surface de vis, son foyer est en/, puisque la trajectoire de ce point est normale à ce plan.

Courbe d'ombre. — Appliquons la construction trouvée pour la surface de vis à filet triangulaire. Appelons toujours y l'angle que le rayon lumineux fait avec le plan horizontal; prenons {fig* 21^)

Fig. 218.

le segment o/< perpendiculairement à la projection du rayon lumineux et égal à Acoty. La circonférence décrite avec Acotp pour rayon est maintenant à l'infini, puisque Acot^ est infini. On doit mener par le point o une droite, puis joindre le point /i au poinl où elle rencontre cette circonférence, c'est-à-dire mener une parallèle à cette droite, enfin élever au point o une perpendiculaire à cette direction; on obtient, sur cette parallèle, le point m, projection d'un point de la courbe d'ombre.

Il résulte de cette construction que la projection horizontale de la courbe d'ombre est la circonférence décrite sur of^ comme diamètre. La courbe d'ombre en projection horizontale est donc une circonférence qui passe par le pied de l'axe du cylindre.

Dans l'espace, la courbe d'ombre est une hélice, comme nous allons le montrer.

(*) Cette construction résulte aussi de la construction trouvée (p. 297.)

Pour construire la courbe de l'espace, nous n'avons qu'à chercher l'intersection de la surface de vis avec le cylindre dont la base est la circonférence décrite sur o/i comme diamètre; nous obtenons des points de la courbe d'intersection de la surface de vis et de ce cylindre, en prenant les traces des génératrices de la surface de vis sur ce cylindre. Construisons des génératrices en joignant le point o aux points i, 2, 3, 4> 5, qui interceptent des segments égaux. On a

arc (1-2)= arc ('2-3) = arc(3-4),

vt ainsi de suite. Les génératrices de la surface de vis se projettent suivant les rayons o-i, o-a, o-3, ... et ces droites dans l'espace, quand on passe de Tune à l'autre, s'élèvent successivement de hauteurs égales, puisqu'elles correspondent, en projection, à des

arcs tels que 1-2, 2-3, • • . égaux entre eux. Les traces de ces droites sur le 'cylindre, dont la base est la circonférence décrite suro/i, se projettent en des points de cette dernière circonférence et interceptent aussi entre eux des arcs égaux.

On a donc dans l'espace des points qui s'élèvent de hauteurs égales et dont les projections i', 2', 3', •.. comprennent entre

elles des arcs égaux, l'-a', 2'-3', 3'-4', • • •• Ces points appartiennent alors à une hélice ; la courbe d'ombre sur la surface de vis à filet carré est donc une hélice. On peut remarquer que le pas de cette hélice est égal à la moitié du pas de l'hélice directrice.

Points Limites sur la courbe d*ombre. — Pour construire les projections des points limites, on doit prendre les points de contact de la projection de la courbe d'ombre avec des tangentes parallèles à la projection du rayon lumineux; ici nous trouvons comme points de contact /< et le point o. Mais, aux points qui se projettent horizontalement en o, les plans tangents à la surface de vis sont verticaux; d'autre part, la tangente au point /< et la tangente au point o à l'hélice courbe d'ombre étant également inclinées sur une verticale, si l'une est dans le plan tangent, l'autre ne peut être une tangente à la courbe d'ombre. Le point /i seul est un point limite, et l'on voit que, sur la courbe d'ombre dans l'espace, on a successivement une spire composée de points réels et une spire composée de points virtuels. On peut ajouter que, la

courbe d'ombre de la surface de vis à filet carré étant une hélice, l'ombre portée par cette surface sur un plan horizontal est une cycloïdc (p. 189).

Dessin d'une vis à filet carré. — Prenons {fi g- a 19) un cylindre qui forme le noyau de la vis. Dans le plan méridien parallèle au plan de projection, considérons un rectangle dont un côté, i-^^ est un segment de la ligne de contour apparent du cylindre du

Fig. 119.

noyau; c'est ce rectangle qui, entraîné dans un déplacement hélicoïdal tel que le pas de l'hélice décrite soit double du côté 1-2, vii engendrer le filet de la vis à filet carré. Lorsque le plan méridien qui contient ce rectangle a tourné de deux angles droits autour de l'axe du noyau, le rectangle vient dans la position i'2'3'4'; puis, ce plan méridien continuant son déplacement, il coïncide avec la position qu'il occupait d'abord, et le rectangle vient en \" '?!' Z" éil' ^ et ainsi de suite. Le point 3 décrit une hélice qui est tangente en ce point 3 à la ligne 3-4 et tangente au point 3' à la ligne 3'-4'; de même pour le point 4'- La droite 3-4 du rectangle engendre unt» portion de surface cylindrique qui est limitée à ces deux hélices, i^'hélice décrite par le point 3' est vue jusqu'au point a à partir duquel elle est cachée par le noyau ; l'hélice décrite par le point •>. et l'hélice décrite par le point 3 limitent la portion de surface de vis à filet carré engendrée par le côté 2-3. Si nous traçons des génératrices de cette surface, nous avons toujours des droites perpendiculaires à l'axe du cylindre. De même pour l'hélice dé-

crite par le point i et pour Thélice décrite par le point 4 5 elles limitent la portion utile de la surface de vis à filet carré engendrée parle côté i-4; puis nous n'avons qu'à répéter ce que nous venons de dire, et nous aurons successivement la projection de la portion vue du filet de la vis.